iMadrassa
التمرين 05

نعتبر الدالة

المعرفة على 
  كما يلي: 
، و ليكن  
 تمثيلها البياني  في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس 
.

السؤال 1

أدرس اتجاه تغير الدالة

  ثم أنشئ المنحنى

لدينا: 

، حيث  

 

دراسة اتجاه تغير الدالة:

لدينا من أجل كل

من 
:  
، و منه  
 على المجال  
 و لدينا  
 و  
 

و بالتالي المنحنى الممثل للدالة

  يكون كما هو مبين في الشكل

 

السؤال 2

 

متتالية عددية معرفة على 
 
  و من أجل كل عدد طبيعي
:

 

  • مثل الحدود   
     و  على محور الفواصل مبرزا خطوط الإنشاء

تمثيل الحدود  

 على محور الفواصل:

لتمثيل الحدود على محور الفواصل نستعمل المنحنى

الممثل للدالة
و المنصف الأول  
 كما هو ممثل في الشكل

  • برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي
    :   

البرهان بالتراجع أنه من أجل  

:  
 

  • من أجل  
      لدينا  
     و منه  
  • نفرض أن  
     و نبين أن  
    .

لدينا  

 و بما أن
  مستمرة و متزايدة تماما على  
 فإن  
 أي أن  
 

إذن من أجل كل عدد طبيعي

،   
 

 

  • بين أن المتتالية  
      متناقصة تماما. ماذا تستنتج؟

بيان أن  

 متناقصة تماما:

الطريقة الأولى:

لدينا:  

وبما أن   

 و  
 و  
 فإن  
 

و منه فالمتتالية  

  متناقصة تماما.

الطريقة الثانية: نبرهن بالتراجع أنه من أجل كل 

:   

  • من  أجل   
      لدينا:  
     و  
     و منه 
  • نفرض أن  
      و نبين أن  
    .

لدينا  

 و بما أن الدالة
مستمرة و متزايدة تماما على  
 فإن 

 و بالتالي 

. إذن المتتالية  
 متناقصة تماما.

  • الإستنتاج: بما أن المتتالية  
     متناقصة تماما و محدودة من الأسفل بالعدد
    فإن 
     متقاربة.
السؤال 3
  •  أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي
    :   

إثبات أنه من أجل كل عدد طبيعي

:  
 

لدينا من جهة:  

و من جهة أخرى لدينا:  

 أي أن
   و منه  
 و بالتالي  
  لأن  
 و منه نستنتج أنه من أجل كل 

 

 

  • بين أنه من أجل كل عدد طبيعي
    :

     

    ، ثم استنتج نهاية المتتالية

بيان أنه من أجل كل عدد طبيعي

:  

لدينا:  

 

 

 

بضرب أطراف المتباينات طرفا لطرف و بعد اختزال العوامل المتساوية نجد:  


 

و بما أن 
فإن  
.

لدينا   

و منه  
  أي أن  

السؤال 4

لتكن

المتتالية المعرفة على  
  كما يلي:   

  • بين أن  
     هندسية يطلب تعيين أساسها و حدها الأول ثم أكتب عبارة  
     بدلالة  
    .

بيان أن المتتالية  

 هندسية:

لدينا: 

و منه 
 هندسية

أساسها  

 و حدها الأول  

إذن:  

  • أحسب المجموع  
     حيث:  

حساب المجموع 

:

لدينا:  

 و لكن  
 أي أن   

 

و منه 

  أي

 

و منه

إذن  

 


قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.