نعتبر الدالة
أدرس إتجاه تغير الدالة
لدينا من أجل كل
ولدينا
وبالتالي المنحنى الممثل للدالة يكون كما هو مبين في الشكل
- مثل الحدود وعلى محور الفواصل مبرزا خطوط الإنشاء
لتمثيل الحدود على محور الفواصل نستعمل المنحنى
والمنتصف الأول
- برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي
- من أجل لديناومنه
- نفرض أن ونبين أن
لدينا
إذن من أجل كل عدد طبيعي
بين أن المتتالية
لدينا:
وبماأن
ومنه فالمتتالية
الإستنتاج:
بماأن المتتالية
- اثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي
لدينا من جهة:
ومن جهة أخرى لدينا:
لأن
ومنه نستنتج أنه من أجل كل
- أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي ، ثم إستنتج نهاية المتتالية
لدينا: $$ \begin{cases}
u_n-1 \le \frac{1}{2}(u_{n-1}-1) \\
u_{n-1}-1 \le \frac{1}{2}(u_{n-2}-1) \\
u_1-1 \le \frac{1}{2}(u_0-1)
\end{cases} $$ بضرب أطراف المتباينات طرفا لطرف وبعد اختزال العوامل المتساوية
نجد: $$ u_n-1 \le \Big(\frac{1}{2}\Big)^n (u_0-1) $$ وبماأن $$ u_0=2 $$ فإن $$ u_n-1 \le \Big(\frac{1}{2}\Big)^n $$
لدينا $$ \lim_{\substack {x \to +\infty }} \Big( \frac{1}{2} \Big)^n = 0 $$ ومنه $$ \lim_{\substack {x \to +\infty }} u_n -1 = 0 $$
أي أن $$ \lim_{\substack {x \to +\infty }} u_n=1 $$
لتكن المتتالية المعرفة على كمايلى :
- بين أن هندسية يطلب تعيين أساسها وحدها الأول ثم أكتب عبارةبدلالة
لدينا:
$$ v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{2u_{n+1}-1}= \frac{\frac{3u_n-1}{2u_n}-1}{2\frac{3u_n-1}{2u_n}-1} = \frac{u_n-1}{4u_{n+1}-2} = \frac{1}{2}v_n $$
ومنه $$ (v_n) $$ هندسية أساسها $$ \frac{1}{2} $$ وحدها الأول $$ v_0=\frac{1}{3} $$
إذن $$ v_n=\frac{1}{3}\Big( \frac{1}{2} \Big)^n $$
- أحسب المجموع حيث:
لدينا $$ S_n=\frac{v_0-1}{u_0} + \frac{v_1-1}{u_1} + \frac{v_2-1}{u_2} + ... + \frac{v_n-1}{u_n} $$ و لكن $$ v_n=\frac{u_n-1}{2u_n-1} $$ أي أن $$ u_n=\frac{v_n-1}{2v_n-1} $$
ومنه $$ S_n=\frac{v_0-1}{\frac{v_0-1}{2v_0-1}}+ \frac{v_1-1}{2v_1-1} +\frac{v_2-1}{\frac{v_2-1}{2v_2-1}} + ... + \frac{v_n-1}{\frac{v_n-1}{2v_n-1}} $$
أي $$ S_n=2v_0-1 +2v_1-1 + ... + 2v_n-1 $$
ومنه $$ S_n=2(v_0+v_1+...+v_n)- (n+1) $$
إذن $$ S_n=\frac{4}{3} \Big[1- \Big(\frac{1}{2}\Big)^{n+1} \Big] -(n+1) $$
قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى
لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.
