iMadrassa
التمرين 01

نعتبر الدالة

  المعرفة على
كمايلي: 
  وليكن 
  تمثيلها البياني في المستوي المنسوب الى معلم متعامد ومتجانس

سؤال 1

أدرس إتجاه تغير الدالة  

  ثم أنشئ المنحنى 

لدينا من أجل كل

من  
، ومنه  
على المجال

ولدينا 

  و

وبالتالي المنحنى الممثل للدالة   يكون كما هو مبين في الشكل

سؤال 2

متتالية عددية معرفة على 
  ب 
  ومن أجل كل عدد طبيعي 

  1. مثل الحدود  
      و 
    على محور الفواصل مبرزا خطوط الإنشاء

لتمثيل الحدود على محور الفواصل نستعمل المنحنى  

  الممثل للدالة 

والمنتصف الأول  

  كما هو ممثل في الشكل المقابل.

  1. برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي 
  • من أجل 
    لدينا 
      ومنه
  • نفرض أن 
      ونبين أن 

لدينا 

  وبما أن  f  مستمرة ومتزايدة تماما على  
  فإن  
  أي أن

إذن من أجل كل عدد طبيعي 

،

بين أن المتتالية 

  متناقصة تماما.ماذا تستنتج؟

لدينا:

وبماأن 

و 
و 
فإن

ومنه فالمتتالية

متناقصة تماما.

الإستنتاج:

بماأن المتتالية 

متناقصة تماما و محدودة  من الأسفل بالعدد 1 فإن 
  متقاربة

سؤال 3
  1. اثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي 

لدينا من جهة:

ومن جهة أخرى لدينا: 

  أي أن 
  ومنه 
وبالتالي

لأن 

ومنه نستنتج أنه من أجل كل 

  1. أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي
    ، ثم إستنتج نهاية المتتالية 

لدينا: $$ \begin{cases}
u_n-1 \le \frac{1}{2}(u_{n-1}-1) \\
u_{n-1}-1 \le \frac{1}{2}(u_{n-2}-1) \\
u_1-1 \le \frac{1}{2}(u_0-1)
\end{cases} $$ بضرب أطراف المتباينات طرفا لطرف وبعد اختزال العوامل المتساوية

نجد: $$ u_n-1 \le \Big(\frac{1}{2}\Big)^n (u_0-1) $$  وبماأن $$ u_0=2 $$ فإن $$ u_n-1 \le \Big(\frac{1}{2}\Big)^n $$

لدينا  $$ \lim_{\substack {x \to +\infty }} \Big( \frac{1}{2} \Big)^n = 0 $$ ومنه $$ \lim_{\substack {x \to +\infty }} u_n -1 = 0 $$

  أي أن $$ \lim_{\substack {x \to +\infty }} u_n=1 $$

سؤال 4

لتكن  المتتالية المعرفة على  كمايلى :

  1. بين أن  
      هندسية يطلب تعيين أساسها وحدها الأول ثم أكتب  عبارة 
      بدلالة 

لدينا: 

$$ v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{2u_{n+1}-1}= \frac{\frac{3u_n-1}{2u_n}-1}{2\frac{3u_n-1}{2u_n}-1} = \frac{u_n-1}{4u_{n+1}-2} = \frac{1}{2}v_n $$

ومنه  $$ (v_n) $$ هندسية  أساسها $$ \frac{1}{2} $$  وحدها الأول $$ v_0=\frac{1}{3} $$

إذن $$ v_n=\frac{1}{3}\Big( \frac{1}{2} \Big)^n $$

  1. أحسب المجموع  
      حيث: 

لدينا   $$ S_n=\frac{v_0-1}{u_0} + \frac{v_1-1}{u_1} + \frac{v_2-1}{u_2} + ... + \frac{v_n-1}{u_n} $$  و لكن $$ v_n=\frac{u_n-1}{2u_n-1} $$ أي أن $$ u_n=\frac{v_n-1}{2v_n-1} $$

ومنه  $$ S_n=\frac{v_0-1}{\frac{v_0-1}{2v_0-1}}+ \frac{v_1-1}{2v_1-1} +\frac{v_2-1}{\frac{v_2-1}{2v_2-1}} + ... + \frac{v_n-1}{\frac{v_n-1}{2v_n-1}} $$

أي $$ S_n=2v_0-1 +2v_1-1 + ... + 2v_n-1 $$

ومنه  $$ S_n=2(v_0+v_1+...+v_n)- (n+1) $$

إذن $$ S_n=\frac{4}{3} \Big[1- \Big(\frac{1}{2}\Big)^{n+1} \Big] -(n+1) $$


قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.