نعتبر الدالة
أدرس إتجاه تغير الدالة
لدينا من أجل كل
ولدينا
وبالتالي المنحنى الممثل للدالة يكون كما هو مبين في الشكل
- مثل الحدود وعلى محور الفواصل مبرزا خطوط الإنشاء
لتمثيل الحدود على محور الفواصل نستعمل المنحنى
والمنتصف الأول
- برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي
- من أجل لديناومنه
- نفرض أن ونبين أن
لدينا
إذن من أجل كل عدد طبيعي
بين أن المتتالية
لدينا:
وبماأن
ومنه فالمتتالية
الإستنتاج:
بماأن المتتالية
- اثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي
لدينا من جهة: $$ u_{n+1}-1 = \frac{3u_n-1}{2u_n}-1 = \frac{u_n-1}{2u_n} = \frac{1}{2u_n}(u_n-1) $$
ومن جهة أخرى لدينا: $$ u_n>1 $$ أي أن $$ 2n>2 $$ ومنه $$ \frac{1}{2u_n} < \frac{1}{2} $$ وبالتالي $$ \frac{1}{2u_n}(u_n-1) < \frac{1}{2}(u_n-1) $$
لأن $$ u_n - 1 > 0 $$
ومنه نستنتج أنه من أجل كل $$ u_{n+1}-1 \le \frac{1}{2} (u_n-1): n \in \mathbb{N} $$
- أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي ، ثم إستنتج نهاية المتتالية
لدينا:
نجد:
لدينا
أي أن
لتكن المتتالية المعرفة على كمايلى :
- بين أن هندسية يطلب تعيين أساسها وحدها الأول ثم أكتب عبارةبدلالة
لدينا:
ومنه
إذن
- أحسب المجموع حيث:
لدينا
ومنه
أي
ومنه
إذن