لتكن المتتالية العددية
برهن بالتراجع من أجل كل عدد طبيعي
برهان أنه من أجل كل عدد طبيعي
- من أجل لدينا :و منه :
- نفترض أن من أجل كل عدد طبيعيو نبين أن
لدينا :
و منه :
إذن : من أجل لك عدد طبيعي
. بين من أجل كل عدد طبيعي
⦁ ادرس اتجاه نغير المتتالية
⦁ هل المتتالية
- بيان أنه من أجل كل عدد طبيعي $$n$$ :
$$U{n+1}-U_n=\frac{(3-u_n)(1+u_n)}{u_n+\sqrt{2u_n+3}}$$
$$U_{n+1}-U_n=\sqrt{2u_n+3}-U_n=\frac{(\sqrt{2u_n+3}-u_n)(\sqrt{2u_n+3}+u_n)}{\sqrt{2u_n+3}+U_n}=\frac{-u_n^2+2u_n+3}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}$$
إذن $$U_{n+1}-U_n=\frac{(3-U_n)(1+U_n)}{\sqrt{2u_n+3}+U_n}$$
- دراسة إتجاه تغير المتتالية $$(U_n)$$
بما أن $$2\leq u_n \leq 3$$ فإن : $$1+U_n>0$$ و $$3-U_n\geq 0 $$ و $$\sqrt{2U_n+3}+U_n>0$$
ومنه $$U_{n+1}-U_n\geq 0$$ إذن المتتالية متزايدة على $$\mathbb{N}$$
- بما أن $$(U_n)$$ متزايدة و محدودة من الأعلى بالعدد 3 فإن $$(U_n)$$ متقاربة .
بين من أجل كل عدد طبيعي $$n$$ أن: $$3-U_{n+1}\leq \frac{2}{3}(3-u_n)$$
⦁ استنتج أنه من أجل كل عدد طبيعي $$n$$ : $$0\leq3-u_n\leq (\frac{2}{3})^n$$
⦁ احسب $$lim_{\substack{n \to +\infty }}U_n$$
- بيان أنه من أجل كل عدد طبيعي $$n$$ : $$3-U_{n+1}\leq \frac{2}{3}(3-U_n)$$
$$3-U_{n+1}=3-\sqrt{2U_n+3}=\frac{(3-\sqrt{2u_n+3})(3+\sqrt{2u_n+3})}{3+\sqrt{2u_n+3}}=\frac{6-2U_n}{3+\sqrt{2u_n+3}}=\frac{2}{3+\sqrt{2u_n+3}}(3-U_n)$$
و لكن $$\sqrt{2u_n+3}\geq 0 $$ و منه $$3+\sqrt{2u_n+3}\geq 3$$ أي: $$\frac{1}{3+\sqrt{2u_n+3}}\leq\frac{1}{3}$$
إذن :$$3-u_{n+1}\leq \frac{2}{3}(3-u_n)$$
- إستنتاج أنه من أجل كل عدد طبيعي $$n$$ : $$0\leq3-U_n\leq \bigl(\frac{3}{2} \bigr)^n$$
لدينا $$U_n\leq 3$$ و منه $$-U_n\geq-3$$ أي (1)
$$3-u_n\leq 0$$
و لدينا :
$$3-u_n\leq\frac{2}{3}(3-u_{n-1})$$
$$3-u-{n-1}\leq\frac{2}{3}(3-u_{n-2})$$
.
.
$$3-U_1\leq\frac{2}{3}(3-U_0)$$
بضرب المتباينتان طرفًا لطرف و بعد الإختزال نجد $$3-u_n\leq\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n(3-U_0)$$ و بما أن $$u_0=2$$
فإن $$3-U_n\leq\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n$$ $$(2)....$$
من $$(1)$$ و $$(2)$$ نستنتج أن : $$0\leq 3-U_n \leq \bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n$$
- حساب
$$\lim_{\substack{n \to +\infty}}U_n$$
لدينا : $$\lim_{\substack{n \to +\infty}}\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n=0$$ وبما أن $$3-U_n\leq \bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n$$ فإن $$\lim_{\substack{n \to +\infty}}3-U_n=0$$
إذن :$$\lim_{\substack{n \to +\infty}}U_n=3$$
قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى
لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.
