حل في مجموعة الأعداد المركبة $$\mathbb{C}$$ المعادلة ذات المجهول التالية: $$(z+\sqrt{3}-3i)(z^2-6z)=0$$
$$(z+\sqrt{3}-3i)(z^2-6z+12)=0$$ يكافئ $$z+\sqrt{3}-3i=0$$ أو $z^2-6z+12=0$$
و لدينا :$$\Delta'=-3=(\sqrt{3i}^2$$ و منه حلول المعادلة هي :$$z_0=-\sqrt{3}+3i$$ , $$z_1=3+3i$$ , $$z_2=3-\sqrt{3i}$$
في المستوي المركب المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس $$(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$$ نعتبر النقط $$A$$ ،$$B$$ ،$$C$$ التي لواحقها على الترتيب:$$z_A=3+\sqrt{3i}$$ , $$z_B=3-\sqrt{3i}$$ , $$z_c=-\sqrt{3}+3i$$
- اكتب كلا من $$z_A$$ ، $$z_B$$ و $$\frac{Z_C}{z_A}$$ على الشكل الأسي ثم استنتج طبيعة المثلث $$OAC$$
- اكتب العدد المركب $$\biggl(\frac{z_A}{2\sqrt{3}}\biggl)^{1436}+\biggl(\frac{z_C}{2\sqrt{3}}\biggl)^{2015}$$ على الشكل الجبري.
- لدينا:$$|z_A|=2\sqrt{3}$$ و منه $$\begin{cases} cos \theta_1=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ sin \theta_1=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2} \end{cases}$$ و منه $$arg(z_A)=\frac{\pi}{6}$$ إذن :$$z_A=2\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}}$$
بما أن
$$z_B=\overline{z_A}$$ فإن $$|z_B|=2\sqrt{3}$$ و $$arg(z_B)=-\frac{\pi}{6}$$ إذن : $$z_B=2\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}$$
و كذلك $$|z_c|=2\sqrt{3}$$ و منه $$\begin{cases} cos \theta_2=-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=-\frac{1}{2} \\sin \theta_2=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end {cases}$$ إذن : $$arg(z_c)=\frac{2\pi}{3}$$ أي $$z_C=2\sqrt{3}e^{i\frac{2\pi}{3}}$$
و بالتالي : $$\frac{z_C}{z_A}=\frac{2\sqrt{3}e^{i\frac{2\pi}{3}}}{2\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}}}=e^{i\frac{\pi}{2}}$$ و منه : المثلث $$OAC$$ قائم في O و متساوي الساقين .
- كتابة العدد $$\biggl( \frac {z_A}{2\sqrt{3} }\biggr)^{1436}+ \biggl( \frac {z_C} {2\sqrt{3}} \biggr)^{1436}$$ علي الشكل الجبري
$$\biggl( \frac {z_A}{2\sqrt{3} }\biggr)^{1436}+ \biggl( \frac {z_C} {2\sqrt{3}} \biggr)^{1436}=$$
$$= (e^{i\frac{\pi}{6}})^{1436}+(e^{i\frac{2\pi}{3}})^{2015}=$$
$$ =e^{i\frac{1436\pi}{6}}+e^{i\frac{4030\pi}{3}}=e^{i\frac{4\pi}{3}}+e^{i\frac{4\pi}{3}}$$
$$=2e^{i\frac{4\pi}{3}}=2[cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3}]=2[-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i]=-1-\sqrt{3}i$$
لتكن النقطة
لدينا $$z_D=-\sqrt{3}-3i$$ و $$z_{\overrightarrow{AD}}=z_D-z_A=-(\sqrt {3}+3)-(\sqrt{3}+3)i$$ أي $$\overrightarrow{AD} \binom {-\sqrt {3}-3}{-\sqrt {3}-3}$$
و $$z_{\overrightarrow{BC}}=z_C-z_B=-(\sqrt {3}+3)+(\sqrt{3}+3)i$$ أي $$\overrightarrow{AD} \binom {-\sqrt {3}-3}{+\sqrt {3}+3}$$
و منه $$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=(\sqrt{3}+3)^2-(\sqrt{3}+3)^2=0$$ إذن $$\overrightarrow{AD} \bot \overrightarrow{BC}$$ أي $$(AD) \bot (BC)$$
عين نسبة و زاوية التشابه المباشر
تعيين زاوية و نسبة التشابه المباشر
لدينا
بما أن
بين أن النقط
لتكن
و منه
إذن النقط
قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى
لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.
