الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس $$(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$$. نعتبر النقط $$A(0;5;0)$$ ,$$B(1;3;1)$$ , $$C(-3;1;1)$$ و المستقيم $$(\Delta)$$ الذي تمثيله الوسيطي $$\begin{cases} x=-t \\ y=1-2t \\ z=2+t \end{cases}$$
احسب
لدينا
و بالتالي المثلث
بين أن المستقيمين $$(\Delta)$$ و$$(AC)$$ ليسا من نفس المستوي
لدينا : $$\vec{AC}(-3;-4;1)$$ شعاع توجيه للمستقيم $$(AC)$$ و $$\vec{u}(-1;-2;1)$$ شعاع توجيه للمستقيم $$(\Delta)$$ و بما أن $$\frac{-3}{-1}\neq\frac{-4}{-2}$$ فإن $$\vec{AC}$$ و $$\vec{u}$$ غير مرتبطين خطيًا و بالتالي $$(\Delta)$$ و $$(AC)$$ إما متقاطعان في نقطة أو ليسا من نفس المستوي .
لدينا : $$\begin{cases} -t=-3S \\ 2+t=S \end {cases} $$ و منه $$t=-3$$ و $$S=-1$$
من أجل $$t=-3$$ نجد $$H(3;7;-1)$$ و من أجل $$S=1$$ نجد $$H’(3;9;-1$$ بما أن $$H \neq H’$$ فإن $$(AC) \cap (\Delta)=\oslash$$ إذن : $$(AC)$$ و $$(\Delta)$$ ليسا من نفس المستوي .
تحقق أن المعادلة الديكارتية للمستوي
بتعويض إحداثيات $$B,A$$ و $$C$$ في هذه المعادلة نجد : $$\begin{cases} 0-10-0+10=0 \\ 1-6-5+10=0 \\-3-2-5+10=0 \end {cases} $$
و منه : $$(ABC)=x-2y-5z+10=0$$
⦁ بين أن المستقيم $$(\Delta)$$ يقطع المستوي $$ABC$$ في نقطة يطلب تعيين إحداثياتها.
لدينا $$\vec{n}(1;-2;5)$$ شعاع ناظمي للمستوي $$(ABC)$$ و بما أن $$\vec{n}.\vec{u}=-1+4-5 \neq 0$$
فإن $$(\Delta)$$ يقطع $$(ABC)$$ في نقطة .
و لدينا: $$-t-2(1-2t)-5(2+t)+10=0$$ و منه t=-1$$ $$
بالتعويض في التمثيل الوسيطي نجد : $$(\Delta)\cap (ABC)={B(1;3;1)}$$
⦁ لتكن
عين مجموعة النقط حتى يكون حجم رباعي الوجوه
لدينا $$M$$ نقطة من $$(\Delta)$$ أي $$M(-t;1-2t;2+t)$$ و $$v=\frac{1}{3}S_{ABC} \times h$$
حيث: $$h=\alpha(M;(ABC))=\frac{\vert -2t-2 \vert}{\sqrt{30}}=2\frac{\vert t+1 \vert}{\sqrt{30}}$$
و منه : $$v=\frac{1}{3} \times \sqrt{30} \times 2\frac{\vert t+1 \vert}{\sqrt{30}}$$ إذن : $$v=\frac{2}{3}\vert t+1 \vert$$ يشترط ان $$M\neq B$$
أي $$t\neq -1$$ حتى يكون $$MABC$$ رباعي وجوه
بما أن : $$v \leq \frac{10}{3}$$ فإن $$\frac{2}{3} \vert t+1 \vert \leq \frac{10}{3}$$ أي $$\vert t+1 \vert \leq 5$$ إذن : $$-6\leq t\leq 4$$ مع $$t\neq -1$$
إذن $$t\in [-6;-1[\cup ]-1;4]$$ و منه مجموعة النقط هي قطعة مستقيمة من $$(\Delta)$$ بتعويض $$t$$ ب $$-6$$ نجد : $$E(6;13;-4)$$ و ب $$4$$ نجد $$E’(-4;7;6)$$
إذن : مجموعة النقط هي $$[EE’]$$ القطعة باستثناء النقطة $$B$$ .
قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى
لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.
