أولاً : حل المعادلة التفاضلية التالية: $$y'-2y=0$$
حل المعادلة التفاضلية : $$y'-2y=0$$
$$y'-2y=0$$ يكافئ $$y'=-2y$$ و منه : $$y=ke^{2x}$$ حيث $$K\in \mathbb {R}$$
عين العددين الحقيقيين $$a$$ و $$b$$ حتى تكون الدالة $$h$$ المعرفة على $$\mathbb{R}$$ ﺒ: $$h(x)=(ax+b)e^x$$ حلا للمعادلة $$y'-2y=xe^x$$
تعين العددين $$a$$ و $$b$$ حتى تكون $$h$$ حلا للمعادلة $$y'-2y=xe^x$$
$$h$$ حل للمعادلة يكافئ $$y'-2y=xe^x$$ أن $$h'(x)=2h(x)=xe^x$$
و لكن $$ h'(x) = a e^x+(ax+b)e^x$$ أي $$ h'(x) = (ax+a+b)e^x$$
و منه : $$(ax+a+b)e^x+(-2ax-2b)e^x=xe^x$$ إذن $$(-ax+a-b)e^x=xe^x$$
إذن $$-a=1$$ و $$a-b=0$$ و منه : $$a=-1$$ أي $$b=-1$$
ثانيًا: لتكن $$g$$ الدالة المعرفة على $$\mathbb{R}$$ كما يلي: $$g(x)=2e^x-x-2$$
ادرس تغيرات الدالة
دراسة تغيرات الدالة $$g$$
- حساب النهايات
$$\lim_{\substack{x \to -\infty}}g(x)=+\infty$$ و $$\lim_{\substack{x \to -\infty}}g(x)=\lim_{\substack{x \to -\infty}}x(2\frac{e^x}{x}-1-\frac{2}{x})$$ لأن $$\lim_{\substack{x \to -\infty}}\frac{e^x}{x}=+\infty$$
- حساب المشتقة :
$$g'(x)=2e^x-1$$ و منه $$g'(x)=0$$ يكافئ $$x=-ln2$$
- جدول النغيرات
بين أن المعادلة
بيان ان المعادلة
لدينا :
استنتج حسب قيم
اشارة
ثالثًا : نعتبر الدالة
احسب نهايات الدالة
حساب النهايات
$$\lim_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=\lim e^{2x}-xe^x-e^x=0$$
و منه : $$(C_f)$$ يقبل مستقيمًا مقاربًا أفقيًا معادلته $$y=0$$
$$\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=\lim_{\substack{x \to +\infty}}e^{2x}(1-\frac{x}{e^x}-\frac{1}{e^x})=+\infty$$
بين أنه من أجل كل عدد حقيقي$$x$$ : $$f'(x)=e^xg(x)$$ ثم شكل جدول تغيرات الدالة $$f$$ .
حساب المشتقة : $$f'(x)=2e^{2x}-[e^x+(x+1)e^x]=2e^{2x}-xe^x-2e^x=e^x(2e^x-x-2)=e^xg(x)$$
جدول التغيرات
بين أن
بيان أن $$f(\alpha)=-\frac{\alpha^2+2\alpha}{4}$$
لدينا $$f(\alpha)=e^{2\alpha}-(\alpha+1)e^{\alpha}$$ و لكن $$g(\alpha)=0$$ أي $$2e^{\alpha}-\alpha-2=0$$ إذن $$e^{\alpha}=\frac{\alpha+2}{2}$$
إذن $$f(\alpha)=\biggl( \frac{\alpha+2}{2} \biggr)^2-(\alpha+1)\biggl( \frac{\alpha+2}{2} \biggr)$$ أي $$f(\alpha)=\frac{\alpha^2+4\alpha+4-2\alpha^2-6\alpha-4}{4}=-\frac{\alpha^2+2}{4}$$
لدينا : $$-1,6\leq\alpha\leq-1,5$$ و منه $$2,25\leq\alpha^2\leq2,56$$ و $$3,2\leq2\alpha\leq-3$$ أي $$0,11\leq f(\alpha)\leq0,24$$
أنشئ المنحنى
باستعمال المكاملة بالتجزئة أحسب التكامل $$\int_{0}^{1}(x+1)e^xdx$$
أحسب مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحنى و محور الفواصل و المستقيمين ذو المعادلتين معادلتاهما $$x=1$$ و $$x=0$$ .
نضع $$u'(x)=1$$ $$u(x)=x+1$$
$$v(x)=e^x$$ $$v'(x)=e^x$$
ومنه : $$\int_{0}^{1}(x+1)e^xdx=[(x+1)e^x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx$$
$$=[(x+1)e^x]_{0}^{1}-[e^x]_{0}^{1}=e$$
- حساب المساحة :
$$S=\int_{0}^{1} f(x)dx=\int_{0}{1}e^{2x}-(x+1)e^xdx=\int_{0}^{1} e^{2x}dx-\int_{0}^{1}(x+1)e^xdx=\bigl[\frac{1}{2} e^{2x} \bigr]-e$$
إذن :
$$S=\frac{1}{2}e^2-e-\frac{1}{2} u.a$$
قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى
لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.
