نعتبر المتتاليتين $$(U_n)$$ و$$(V_n)$$ المعرفتين على $$\mathbb{N}$$ كما يلي: $$U_0 = 2$$ و من أجل كل عدد طبيعي
$$n$$:$$U_{n+1}=(U_n)^{\frac{1}{3}}$$ و $$V_n=ln(U_n)$$ .
بين أن
لدينا :
و منه :
عبرعن
لدينا : $$V_n=ln2 \times \bigl(\frac{1}{3}\bigr)^n$$ و بما أن $$V_n=ln(U_n)$$ فإن $$U_n=e^{V_n}$$ أي $$U_1=e^{ln2 \times \bigl(\frac{1}{3}\bigr)^n}$$ .
أحسب $$\lim_{\substack{n \to +\infty }} V_n$$ و $$\lim_{\substack{n \to +\infty }} U_n$$
لدينا : $$\lim_{\substack{n \to +\infty }} V_n = 0$$ لأن $$\lim_{\substack{n \to +\infty }} \bigl(\frac{1}{3}\bigr)^n = 0$$ و $$\lim_{\substack{n \to +\infty }} U_n = \lim_{\substack{n \to +\infty }} e^{u_n}=1$$ .
نضع من أجل كل عدد طبيعي $$n$$ : $$S_n = v_0+v_1+v_2...v_n$$ و $$P_n = u_0 \times u_1 \times u_2 \times...\times u_n$$
- عبر عن $$S_n$$ بدلالة $$n$$ ثم استنتج $$\lim_{\substack{n \to +\infty }} S_n$$
$$S_n=V_0+V_1+...+V_n=ln2 \times \frac{1-\bigl(\frac{1}{3}\bigr)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}ln2\bigl[1-\bigl(\frac{1}{3}\bigr)^{n+1}\bigr]$$
و $$\lim_{\substack{n \to +\infty }} S_n=\frac{3}{2}ln2$$ لأن $$\lim_{\substack{n \to +\infty }} \bigl(\frac{1}{3}\bigr)^{n+1}=0$$.
- عبر عن $$P_n$$ بدلالة $$n$$ ثم استنتج $$\lim_{\substack{n \to +\infty }} P_n$$
$$P_n=U_0 \times U_1 \times ... \times U_n = e^{V_0} \times e^{V_1} \times ... \times e^{V_n}=e^{V_0+V_1+...+V_n}=e^{S_n}$$
و $$\lim_{\substack{n \to +\infty }} P_n= \lim_{\substack{n \to +\infty }} e^{S_n} = e^{\frac{3}{2}ln2}$$
قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى
لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.
