iMadrassa
Exercice 2

Partie A

On considère la Terre sphérique de rayon  

; de masse M et dont le centre est le point O. On place un satellite de masse  
  sur une orbite circulaire de centre O, voir figure 3. On suppose que seule la force gravitationnelle agit sur le satellite et que le repère géocentrique est galiléen.

Question 1

Que veut dire « géocentrique » et « galiléen » ?

Définitions :

  • Repère géocentrique : repère dont l’origine est au centre de la terre et dont les axes sont dirigés vers des étoiles fixes
  • Repère galiléen : repère ou toute particule libre est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.
Question 2

Donner l’expression de la force  

agissant sur un corps quelconque de masse
dont le vecteur position est
par rapport au point  
.

Expression de  sur un corps :

Question 3

Calculer la masse

de la terre.

Calcul de la masse  

de la terre :

Question 4

Donner l’expression de la période de révolution

du satellite autour de la terre en fonction de
,
,
et du rayon de l’orbite
.

  1. Quelle loi de Kepler retrouve-t-on ?
  2. En déduire le rayon
    de l’orbite d’un satellite géostationnaire.

Expression de la période

 :

On applique la RFD sur le satellite :


Le mouvement étant circulaire

Donc

On remplace M par son expression trouvée dans la question 3

On sait que la période

 

 : étant le rayon de la terre (constant)

on a donc 

c'est la 3éme loi de Kepler

  1. On déduit le rayon
    d’un satellite géostationnaire :

Pour un satellite géostationnaire, la période est la même que celle de la terre

On a

Pour qu’un satellite soit géostationnaire, il doit orbiter à

du centre de la terre.

Question 5

La force  

est-elle conservative ? Justifiez votre réponse. Dans l’affirmatif, établir l’expression de l’énergie potentielle
associée tout en précisant l’origine de celle-ci.

La force  

est la force gravitationnelle, elle dérive du potentielle de gravitation.

 

Est donc conservative.

Lorsque

L’expression devient

Question 6

Quelle est l’énergie mécanique

du satellite en fonction de la constante
, des masses
et
et du rayon de l’orbite
. En déduire l’énergie cinétique de lancement du satellite à partir du sol pour qu’il puisse échapper à l’attraction terrestre.

L’énergie mécanique 

du satellite

On applique la relation fondamentale de la dynamique sur le satellite

On multiplie les 2 membres de l’équation par

et on divise par 2 pour retrouver l’expression de

On a vu précédemment que

A l’infini

Comme

est conservée, au lancement :

En remplaçant

par son expression on obtient:

D'ou

Partie B

Le satellite passe à une orbite elliptique dont l’apogée est au point 

et le périgée au point 
, figure 4

Question 7

Quelle est l’expression de la variation de l’énergie cinétique du satellite au cours de son passage du périgée a l’apogée ?

L’expression de 

La force étant conservative

Donc la vitesse diminue

Question 8

Sachant que quand le vecteur position du satellite est

, sa vitesse
fait avec
un angle

  1. Donner l’expression du moment cinétique 
    du satellite par rapport au point
    .

Représenter 

et donner son module

On donne :

et

 

  1.  
      (Loi)

Représentation de 

  1. Le moment cinétique du satellite est-il conservé au cours de son mouvement ? Justifiez votre réponse. Que peut-on en déduire ?

et 
colinéaires

Le moment cinétique est conservé ( il l’est toujours quand le corps subit une force centrale telle que la gravitation).Cela implique la seconde loi de Kepler :

« Loi des aires : le rayon vecteur reliant une planète au soleil balai des aires égales en des temps égaux »

  1. Calculer la vitesse du satellite à l’apogée (point de l’orbite le plus éloigné du centre O de la terre, point A) ?

Calcul de la vitesse du satellite au point A :

 


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