iMadrassa
Exercice 01

Soit   

, une fonction définie par : 

Question 1

Donner le domaine de définition de

.

est définie si 
  comme  
  ,  on a donc 

Question 2

est-elle injective ? surjective ?

est  injective si :   

 

  • 1 er cas : si 
      et 
      donc 
    et 
    donc  
      et
     

  donc 

  • 2éme cas :si  
      et 
      donc 
    et 
    donc  
      et

  donc 

Donc 

est injective

Question 3

On pose  

  , déterminer
, vérifier que
  est bijective de
vers un intervalle que l’on déterminera .

 Soit 

  est continue et strictement croissante sur

Puisque  

on a :

 

D’après la 2éme question

est injective  d'ou 
surjective 

Puisque 

   donc 
  est bijective de 
sur 
.

Question 4

Déterminer 

puis 
, en déduire 
.

Soit  

on a  

Donc  

Montrons par récurrence  

Pour 

l’égalité est vérifiée, supposons qu’elle est vraie à l’ordre
et démontrons  qu’elle est vraie à l’ordre
on  montre qu'on a :

 

  ,
est continue et strictement croissante sur
puisque  
on a :

 


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