Exercice 02
Soit
la suite définie par
Question 1
Montrer que
Démontrons par récurence que
:
pour
, on a
donc
L’équation est vérifiée pour
On suppose maintenant que
et on montre que
:
On a:
et
Donc
On montre en suite que
car
Donc
On en conclut que
Question 2
Etudier la monotonie de la suite
, que peut-on conclure ?
Puisque
donc le signe de
dépend de
Calculons le
on aura
et
;
On remplace dans
Car
est donc une suite strictement croissante
Conclusion:
est croissante et majorée (puisque
), on dit alors qu'elle converge.
Question 3
Calculer la limite de
L’idée est de poser :
sachant que lorsque
,
( on remplace
par
)
Calcul de
on trouve :
et
Comme
la limite de
:
Question 4
Soit
donner
et
.
vu que
est croissante, elle converge vers la born superieur
Comme
est croissante
donc
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