iMadrassa
Exercice 03

On considère la fonction  

  définie par :  

Question 1

Etudier la continuité de

sur   

  • 1er cas : sur  
      ; 

est continue car c’est la somme de deux fonctions continues  sur

  • 2éme cas : sur
      ;

est continue car c’est la somme de deux fonctions continues sur 

  • 3éme  cas : au point 
    on a

 

  ;   
 

D’où  

  par conséquent
est continue au point 
  et donc 
  est continue sur

Question 2

Etudier la dérivabilité de

sur  
et calculer  

  •  sur
    ;

est dérivable car c’est la somme et la composée de fonctions dérivables sur

  •  sur
     ;
     

est dérivable car c’est la somme et la composée de fonctionssdérivables sur

  • au point
    on a :

on applique le théorème de l’hopital,

on aura : la dérivée 

donc :

 

donc    

    et maintenant :

 

toujours en appliquant le théorème de l’hopital on trouve :

 

donc  

  d’où :

ainsi

est dérivable au point 
  donc
est dérivable sur

 

Question 3

La fonction

est-elle de classe 
au point

 

Par conséquent

est continue au point 
  et donc de classe

Question 4

Montrer que l’équation

admet dans 
une solution unique .

Nous savons d’après les questions précédentes que

est continue et dérivable sur

Par ailleurs,  

  puisque
donc
est strictement croissante sur
 donc d’après le théorème des valeur intermédiaires, il existe dans
une seule racine .   


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