iMadrassa
Exercice 02

Soit

un réel positif ou nul. On conidère le suite 
définie paret
  et   

Question 1

Montrer qu’il existe une unique valeur de

pour laquelle la suite 
est constante et déterminer cette valeur.

Si  

est constante

 

Si  a =0 est constante

Ce qui est impossible

Question 2

On suppose que la suite 

vérifie la propriété :  
. Montrer que 
est  une suite positive croissante qui tend vers
.

On a 

Donc

Alors

est positive

  • Montrons que la suite
    tend vers

On a 

et  

Donc  

  • Montrons que la suite 
    est croissante

Puisque 

montrons que   

car

Donc

est croissante

Question 3

On suppose que

 

  1. Montrer que  

Raisonnement par récurrence :

La propriété

est vraie pour
car

Supposons que

est vraie et montrons  que 

on a

d'ou 
donc

alors

Conclusion :

est  vraie

donc

  aussi

  1. Montrer que la suite 
    est décroissante

On a    

Comme

  et

Donc  

alors
est une suite décroissante

  1. En déduire que la suite 
    est convergente et calculer sa limite.

est décroissante et minorée par
donc 
est convergente et sa limite
d’où 
car (
refusé )

  • Rappel :

Quand une suite est croissante et majorée ‘’long rightnarrowelle" convergeet quand elle est décroissante et minorée "long rightnarrowelle" converge ( notre cas )


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