Exercice 01
Montrer à l’aide de la formule de Taylor que la fonction
admet quel que soit
, un développement limité d’ordre
en zéro et donner ce développement limité dans chacun des cas suivants:
la fonction
est dérivable à tout ordre sur
et l'on a :
,
;
;
et par récurrence on montre que
,
La formule de Taylor-Young appliquée à
au voisinage de 0, donne :
,
soit :
Un raisonnement analogue précédent conduit à :
avec
et
La fonction
est dérivable à tout ordre sur
et l'on a
:
;
;
et par récurrence on montre que :
;
le développement de
au voisinage de 0 par La formule de Taylor-Young donne :
avec
, soit
La fonction
est dérivable à tout ordre sur
et un raisonnement analogue au précédent conduit à :
avec
La fonction
est dérivable à tout ordre sur
et l'on a
:
;
;
,
,
le développement de
au voisinage de 0 par La formule de Taylor-Young donne :
avec
La fonction
est indéfiniment dérivable sur
et :
;
le développement de
au voisinage de 0 par La formule de Taylor-Young donne :
avec
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