Exercice 02
Soit la fonction
définie sur
par
en
et
.
Question 1
Montrer que
admet une fonction réciproque qu’on notera
.
La fonction
est impaire et, au voisinage de 0 ,
donc
La fonction
est donc continue sur
et dérivable en tout point de
On a
;
Soit
la fonction définie sur
par
est dérivable sur
et
On déduit
donc
est croissante sur
L'egalité
implique
et,par suite
il en résulte que
est strictement croissante sur
Les propriétés (
et
impaire) entraînent que
est strictement croissante sur
; elle est, par ailleurs, continue sur
et admet donc une fonction réciproque
définie sur
car
Question 2
Montrer que
admet un développement limité à tout ordre en zéro puis donner son développement à l’ordre 5.
On montre immédiatement que
,donc
est dérivable en
et,par suite, sur
On a de plus
, donc
est dérivable sur
et
On en déduit par récurrence que
est de classe
sur ,
admet donc un développement limité en 0,à tout ordre
est impaire. Le développement limité à l'ordre de 5 de
au voisinage de 0 est de la forme :
avec
et
Le développement limité de
au voisinage de 0 est
avec
Du théorème sur le développement limité de la composée de deux fonctions, il résulte qu'au voisinage de 0, on a :
avec
De
et de l'unicité du développement limité, on déduit que
et
sont tels que
,
,
il en résulte
,
et
et le développement limité de
, à l'ordre 5, au voisinage de 0 est :
avec
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