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دروس تمارين
Exercice 03

Donner le développement limité en 0 des fonctions :

  • à l’ordre 3

Le dl de

à l’ordre 3 est :

Le dl de expx à l’ordre 3 est :

Par convention toutes nos fonctions

vérifierons
 lorsque

On multiplie ces deux expressions

  on développe la ligne du dessus

On va développer chacun de ces produits, par exemple pour le deuxième produit :

Mais on cherche un dl à l’ordre 3 donc tout terme en

ou plus se met dans
,y compris
 qui est un bien de la forme 
donc 

Pour le troisième produit on a :

On en arrive à :

il ne reste plus qu’à regrouper les termes :

Ainsi le dl de


en 0 à l’ordre 3 est :

  • à l’ordre 4

Il s’agit juste de multiplier le dl de

par lui-même. En fait si l’on réfléchit un peu on s’aperçoit qu’un dl à l’ordre 3 sera suffisant (car le terme constant est nul) :

  ;
 lorsque
 

  • à l’ordre 6

Pour le dl de 

on commence par faire un dl du numérateur. Tout d’abord :

donc

Il ne reste plus qu’à diviser par

:

Remarquez que nous avons commencé par calculer un dl du numérateur à l’ordre 9, pour obtenir après division un dl à l’ordre 6.

  • à l’ordre 4

Le dl de

à l’ordre 4 est :

Le dl de

à l’ordre 2 (qui sera suffisant ici) est :

On pose

on a

  • à l’ordre 7

Pour ceux qui souhaitent seulement un dl à l’ordre 5 de

alors il faut multiplier le dl de
à l’ordre 5 par le dl de
à l’ordre 4 (voir question précédente).

Si l’on veut un dl de

à l’ordre 7 il faut d’abord refaire le dl
mais cette fois à l’ordre 6 : 

Le dl à l’ordre 7 de sin x étant :

Comme 

 il ne reste donc qu’à multiplier les deux dl pour obtenir après calculs :

  •  à l’ordre 3

Si l’on pense bien à écrire 

 alors c’est juste des calculs utilisant les dl à l’ordre 3 de
,
et
 

  • à l’ordre 6

Tout d’abord

Et
 Donc en posant 
On a : 

J'ai fait l'exercice Exercice fait !

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