iMadrassa
Exercice 5

Résoudre les équations différentielles suivantes :

)  
(à résoudre comme une équation différentielle et non un calcul de primitive)

  …..(
)

On commence par résoudre l’équation homogène

L’équation caractéristique associée :

  …..(

avec 

On cherche maintenant une solution particulière sous la forme d’un polynôme d’ordre

, de plus,
est une racine d’ordre
de (
), donc il existe une solution particulière de la forme
est à déterminer

On reporte dans l’équation complète

La solution générale de l’équation (

) est

  

  …..(
)

On résout d’abord l’équation homogène

L’équation caractéristique associée

  …..(
et

La solution homogène est donc

avec

Le second membre est 

de plus,
est une racine d’ordre
de l’équation (
) donc il existe une solution particulière de la forme
ou
est à déterminer

On reporte

dans l’équation complète :

Par identification

La résolution de ce système donne

D’où

La solution générale de l’équation (

) est :

avec

  

  …..(
)

On résout l’équation homogène

L’équation caractéristique s’écrit 

  …..(
)

et

La solution générale de l’équation homogène est

avec

, on cherche donc une solution particulière sous la forme d’un polynôme de degré
,
de plus
n’est pas racine de l’équation caractéristique (
), donc il existe une solution particulière de la forme
ou
reste à déterminer.

On reporte

dans l’équation complète

On a alors

Ce qui donne

La solution générale de l’équation (

) est

  avec

  …..(
)

On commence par résoudre l’équation homogène

L’équation caractéristique associée :

  …..(
)

La solution générale de l’équation homogène est

avec

On cherche maintenant une solution particulière sous la forme d’un polynôme de degré

,
. De plus,
est une racine d’ordre
de l’équation caractéristique (
), donc il existe une solution particulière de la forme
ou
est à déterminer.

En reportant dans l’équation complète, on trouve 

Par identification

Une solution particulière est donc

On a alors la solution générale de l’équation (

) :

  …..(
)

On résout d’abord l’équation homogène 

L’équation caractéristique associée

  …..(
)

et

La solution générale de l’équation homogène est

Dans le second membre de (

), on a

avec
  et 

Une solution particulière de (

) s’écrit sous la forme
est une solution particulière de
et
et une solution particulière de
.

On remarque que

est une solution particulière évidente de
, d’où
.

Comme

et que
est une racine d’ordre
de l’équation caractéristique (
), alors il existe une solution particulière de la forme
ou
reste à déterminer.

On reporte

dans

Par identification

La résolution de ce système donne

D’où

Une solution particulière de l’équation complète :

La solution générale de l’équation (

) est donc :

  avec 

  

  …..(
)

On commence par résoudre l’équation homogène 

L’équation caractéristique associée :

  …..(
)

et 

La solution générale de l’équation homogène :

avec

On cherche maintenant une solution particulière :

Le second membre

, il est de la forme
, de plus,
 n’est pas racine de l’équation caractéristique (
), il existe alors
de (
) de la forme
et
sont des constantes à déterminer

On reporte

dans l’équation complète

 

Pour

Pour 

On a donc

Une solution particulière de l’équation :

La solution générale de l’équation (

) est :

  avec 

 

)
  

  …..(
)

On résout l’équation homogène

L’équation caractéristique associée :

  …..(
)

  et

et

La solution générale de l’équation homogène :

avec

On cherche à présent une solution particulière de l’équation complète :

Le second membre

est de la forme
, de plus,
n’est pas racine de l’équation caractéristique (
), il existe alors une solution particulière de l’équation (
),
de la forme

On reporte dans l’équation complète

Une solution particulière est donc

La solution générale de l’équation

 :

avec

 


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