Exercice 02
On considère l’application linéaire :
Question 1
Quelle est la matrice de
dans les bases canoniques de
et
Ecrivons les éléments de
et
en colonne
On a :
Ainsi, la matrice de
dans les bases canoniques de
et
est :
Question 2
Déterminer le noyau de
. L’application linéaire
est-elle injective ?
Le noyau de
est par définition constitué des vecteurs
de
tels que
.Cette équation équivaut à
est solution du système :
Ce système a les mêmes solutions que le système triangulé pour l’ordre naturel des variables :
Les variables libres de ce système triangulé sont
et
.On obtient en le résolvant :
tels que
Nous avons appliqué l’algorithme de résolution.Nous pouvons donc conclure que
admet pour base le couple de vecteurs de
. L’espace vectorielest
donc de dimension 2. Le noyau de
n’est pas réduit au vecteur nul de
. Donc
n’est pas injective.
Question 3
Quelle est l’image de
.L’application
est-elle surjective ?
La formule de dimension, nous apprends :
Soit,
. Ainsi, l’espace vectoriel
est de dimension 2. Comme il s’agit d’un sous-espace vectoriel de
qui est aussi de dimension 2, nous avons :
L’image de
coïncide avec
l’espace but de
. Donc,
est surjective.
Question 4
Soit
deux réels, préciser un vecteur
de
tel que
De la surjectivité de
, il résulte que pour tout
, il existe
Tels que
.Fixons
; les
qui conviennent sont les solutions du système :
Les variables libres de ce système triangulé sont
et
. Ces solutions décrivent l’ensemble :
tels que
Nous obtenons, si nous prenons
la solution particulière :
Ainsi, nous avons montré que le quadruplet de réels
vérifie :
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