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دروس تمارين
Exercice 03

Soit

un R-espace vectoriel de dimension 3 et
une base de
.

On considère

l’application linéaire de
vers
telle que :
;
;

Question 1

Quelle est la matrice

de
dans la base
? Si
  a pour coordonnées  
  la base 
, quelles sont les coordonnées de
dans la base
?

La matrice de

dans la base
est une matrice carrée à trois lignes, ses colonnes sont respectivement les coordonnées de 
  dans la base
. Cette matrice est donc :

La matrice

donne les coordonnées de
  dans la base 
. Ces coordonnées sont : 

Question 2

Calculer

En particulier les coordonnées de

sont :

Ainsi,

Question 3

Déterminer le noyau et l’image

Considérons un vecteur 

  et notons
ses coordonnées dans la  base
. Le vecteur
est dans
si et seulement si
. Donc, si et seulement si les coordonnées de
sont nulles, c'est-à-dire solutions du système linéaire :

 

Ce système équivaut à :

 

Ou encore au système triangulé (l’ordre des variables est l’ordre naturel) :

En résolvant ce système, on trouve que ses solutions sont :

tels que

sont les coordonnées des vecteurs de
ainsi :

tels que

Le noyau de

est donc un espace vectoriel de dimension 1 de base le vecteur non nul :

Il résulte de la formule de dimension :

Ainsi, l’image de

est un espace vectoriel de dimension 2. D’après le cours, puisque
engendrent
,
est engendré par
. Déterminons une base de
echelonnée dans la base
.

Ainsi,

admet le couple de vecteurs
comme base échelonnée relativement à la base
de

On retrouve de plus que c'est-à-dire

c'est à dire que

Question 4

Ces sous -espaces vectoriels de 

sont-ils supplémentaires ?

Pour toute application linéaire de source 

:

Comme l’espace but de

  est
  (
est un endomorphisme),
est aussi un sous-espace vectoriel de
. Pour démontrer que
et
sont des sous-espaces supplémentaires, il suffit de montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul.

Déterminons un système d’équations de

  relativement à la base 
. Considérons un vecteur  
  de coordonnées
dans la base 
Considérons la matrice :

Suivons l’algorithme qui donne un système d’équations relativement à la base

de

Qui est l’espace vectoriel engendré par 
:

Ainsi, 

  si et seulement si ses coordonnées 
  dans la base   

Vérifient :

Il est facile maintenant de montrer de 

. En effet si 
, il existe un réel
tel que
. Les coordonnées de
  dans la base
sont donc 
Ce vecteur est dans
si et seulement si :

Il vient

donc
Ainsi, 
et
et
sont des sous-espaces supplémentaires de

Question 5

 Quelle est la matrice  de

dans la base  
? En déduire

La matrice de

dans la base  
est :

On en déduit :

,
  ,

J'ai fait l'exercice Exercice fait !

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