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دروس تمارين
Exercice 04

Soit

un  R-espace vectoriel de dimension 2 et
une base de
.On considère
l’application linéaire de 
vers
 de matrice dans la base
  :

Question 1

Préciser

et
. Soit
un réel, déterminé à l’aide de la matrice
  le vecteur
.

La matrice

est la matrice de
dans la base 
(noter que cela sous-entend que la base de départ est aussi la base d’arrivée). Les coordonnées de  
dans la base  
sont  données par la première colonne de
, ainsi 
sont donc les coordonnées de  
  dans la base 
. De même, les coordonnées de  
  dans la base 
sont données par la deuxième colonne de
et 
sont donc les coordonnées de  
dans la base 
. Il en résulte :

  et

Les coordonnées de

  dans la base  
sont
, il en résulte  que les coordonnées de 
. dans la base  
sont :

   d'ou

Question 2

Déterminer le noyau et l’image de

.

Soit

de coordonnées
dans la base 
 . Le vecteur
est dans 
  si et seulement si 
donc si et seulement si les coordonnées de  
  sont nulles :

Cela équivaut au fait que 

soit solution de l’équation linéaire 
  . Les solutions de cette équation sont
  tels que 
  . Il en résulte :

tels que
 

Comme 

est non nul, la famille réduite à ce vecteur est livre et  
  est une base de

Le sous-espace vectoriel

est engendré par les deux vecteurs
. Ainsi :

On peut pour avancer utiliser trois méthodes. L’algorithme du cours qui dit :

  et

  et

Comme

  est non nul, la famille réduite à ce vecteur est libre et
  est une base de

Deuxièmement, on aurait pu aussi noter que  

. Il est alors claire que :

On termine alors comme au-dessus

Question 3

Soit

. Montrer que
est une base de
. Quelle est la matrice de
dans cette base ?

Comme

est de dimension 2, pour montrer que  
est une base de
, il suffit de montrer que la matrice :

Est inversible. Son déterminant est non nul, car égal à 3, d’où le résultat. Pour déterminer la matrice de

dans la base 
   donnons deux méthodes :

  1. Les coordonnées de
    dans la base 
      sont
    , il en résulte que les coordonnées de 
      dans cette même base sont :

d'ou

De Même les coordonnées de

dans la base 
  sont
, il en résulte que les coordonnée de
  dans cette même base sont :

d'ou

Par définition de la matrice de 

  dans la base
 , on obtient :

  1. La matrice de passage de la base
      à la base  
       est la matrice :

Son inverse se détermine par le calcul du déterminant et de la comatrice. On obtient :

On sait alors que la matrice

de
dans la base
est donnée par la formule :

Question 4

Montrer que

  et
  sont des sous-espaces
.

On a toujours : 

. Pour montrer que
et
sont des sous-espaces supplémentaires, il suffit alors de montrer
  Soit
  il  existe alors
tels que
  Si
appartient de plus à
ses coordonnées 
dans la base 
vérifiens alors l’équation de
. On en déduit :  
. D'ou
et
. Ainsi,

J'ai fait l'exercice Exercice fait !

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