Exercice 06
On considère l’application
définie par :
Soit
la base canoniques de
et
celle de
Question 1
Quelle est la matrice
de
dans ces bases canoniques ? préciser
On observe que :
Ainsi , la matrice de
dans les bases canoniques de
et
est :
Les vecteurs cherchés ont pour coordonnées dans la base canonique de
les colonnes de la matrice
. Ceux sont donc les colonnes de
.
,
,
Question 2
Donner une base échelonnée de
par rapport à la base
Appliquons l’algorithme du cours, le point de départ est :
Posons
,
;
;
, on a :
et
Posons
,
,
,
on a :
et
Comme
,on a
.Comme les vecteurs
sont échelonnées par rapport à la base canonique de
,
est donc une base de l’espace vectoriel
Question 3
En déduire la dimension de l’image de
, la surjectivité de
et la dimension de
.
L’image de
n’est autre que
. Il en résulte que l’image de
est un sous-espace vectoriel de
de dimension 3. Or,
lui-même est de dimension 3, donc l’image de
est égal à
et
est surjective. Comme
est une application linéaire de source un espace vectoriel de dimension 4, on a :
Il en résulte que le noyau de
est de dimension 1. Le noyau de
est donc une droite vectorielle de
Question 4
Déterminer une base du noyau de
.
L’algorithme donne
,c'est à dire :
soit :
Il vient
, c'est-à-dire
.Ainsi
est un vecteur du noyau
. Ce vecteur est non nul, c’est donc une famille libre à un élément de
.Comme
est de dimension 1,
est une base de
. On peut vérifier ce résultat en résolvant le système :
Dont les solutions sont justement les éléments du noyau de
.
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