Exercice 07
Soit
,
les vecteurs de
la base canonique de
.Posons
et
.
Question 1
Monter que
est une base de
notées
.
Soit
, l’application linéaire de la matrice
dans la base canonique de
:
La dimension de
comme R-espace vectoriel est 2. Pour montrer que
est une base de
, il suffit donc de montrer que la matrice :
Est inversible. C’est le cas, puisqu’elle est de déterminant
Autre méthode : vu la dimension de
, il suffit de montrer que la famille
est libre. Soit
tels que
On obtient :
Ainsi,
est une solution du système :
On en déduit
. Cela prouve que
est une famille libre, donc une base de
.
Question 2
Préciser les vecteurs,
et
.Préciser
.
Puisque
est la matrice
dans la base canonique de
et
La matrice de
dans la base
est :
Ainsi,
et
ont la même matrice dans la base
. Ces applications linéaires sont donc égales :
Question 3
Préciser
et
.En déduire la matrice
de
dans la base
.
Les coordonnées de
et
dans la base
sont respectivement :
et
Ainsi,
et
. La matrice
de
dans la base
est :
Question 4
Préciser les matrices de passage entre les bases
et
.Quelles sont les coordonnées des vecteurs
et
dans la base
? Retrouver la matrice de dans la base
en utilisant ces matrices de passage.
La matrice de passage de la base
à la base
est :
La matrice de passage de la base
à la base
est :
Ainsi
et
. On peut retrouver ce résultat en résolvant le système linéaire vectoriel :
On obtient en le résolvant comme un système linéaire à coefficients réels :
et
Les coordonnées des vecteurs
et
dans la base
sont respectivement
et
On a :
Question 5
Montrer que les sous-espaces vectoriels
et
sont supplémentaires. Comparer
et la symétrie
vectorielle par rapport à
parallèlement à
.
Comme
, pour montrer que
et
sont supplémentaires, il suffit de voir que
. Cela résulte du fait que
est une base de
. Par définition de la symétrie
:
et
Ainsi,
et
sont deux applications linéaires qui prennent les mêmes valeurs sur les vecteurs
d’une base de
. Elles sont donc égales :
et
est la symétrie vectorielle par rapport à
parallèlement à
Question 6
Quelle est la matrice de projection vectorielle
sur
parallèlement à
dans la base
et dans la base
?
Par définition de la projection
et
. Ainsi, la matrice de
dans la base
est :
D’autre part :
Il en résulte :
On pourrait aussi utiliser les matrices de passage pour déduire cette matrice de la matrice de
dans la base
.
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