iMadrassa
Exercice 03

Soit

antisymétrique.

Question 1

Montrer que

est inversible ( si
, calculer
).

Avant de commencer la résolution nous allons faire une remarque importante : pour

un vecteur (considéré comme une matrice à une seule colonne) alors nous allons calculer
:

On note

:
est la norme ou la longueur du vecteur
. De ce calcul on déduit d’une part que
.Et aussi que
si et seulement si
est le vecteur nul.

Nous allons montrer que

est inversible en montrant que si un vecteur
vérifie
alors
.

Nous allons estimer 

 de deux façons. D’une part c’est un produit de la forme
 et donc  

D’autre part :

car 
donc

  car 

  car 

Qui est donc négatif.

Seule possibilité

donc
 (= le vecteur nul) et donc
inversible. 

Question 2

Soit

. Montrer que
.

  • Calculons

(n’oubliez pas que
)

  • Calculons

car

  car 

car

  car ici

  • Montrons que
    et
    commutent.

Tout d’abord

et
commutent car
.Maintenant nous avons le petit résultat suivant :

Si

alors
Pour la preuve on écrit :

En appliquant ceci à

et
on trouve
et donc


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