iMadrassa
Exercice 1

On considère l’équation différentielle du second ordre suivante :

Question 1

Résoudre l’équation homogène associée à

Réponse 1

On a

On sait que

La résolution de

revient donc à la résolution de

Résolution de l’équation homogène

L’équation caractéristique associée

et

Donc, la solution générale de l’équation homogène est

avec

Question 2

Donner la solution particulière de l’équation

Réponse 2

La solution particulière de l’équation

Le second membre est

, on cherche alors une solution particulière sous la forme d’un polynôme de degré
 :
. De plus,
est une racine d’ordre
de l’équation caractéristique, donc il existe une solution particulière de la forme
ou

On reporte dans l’équation complète

On a alors

Par identification: 

Une solution particulière de l’équation

 :

Question 3

Donner la solution particulière de l’équation

Réponse 3

Solution particulière de l’équation

Le second membre

, il est de la forme
, de plus,
(
) n’est pas racine de l’équation caractéristique, il existe alors
de la forme
et
sont des constantes à déterminer

On reporte dans l’équation

Par identification :

On a alors une solution particulière de

sous la forme

Question 4

Donner la solution particulière de

Réponse 4

La solution particulière de l’équation

est la combinaison des deux solutions particulières précédentes

Question 5

Donner la solution générale de

Réponse 5

La solution générale de l’équation

est :

 


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