iMadrassa
Exercice 1

On considère les vecteurs

et
.

Question 1

Les vecteurs

, et
sont-ils linéairement indépendants ?

Nous remarquons que :


Donc les vecteurs
, et
ne sont pas linéairement indépendants.

Question 2

Soit l’application 

définie par :  

  • Montrer que f est une application linéaire.

 L’application est linéaire (à vérfier).

Question 3

Donner une base de

.

et
est une base de
.
La dimension de
est donc de 3.

Question 4

Donner une base de

.

Question 5
  • Rappeler le théorème du rang.
  • Déterminer
    et
    .
  • Vérifier le théorèmedu rang,
  •  Théorème du rang : Soient F et G deux espaces vectoriels (de dimensions finies ou infinies) sur un corps K et soit une application linéaire

Alors

.

  •  D’après ce qui précède, on a
    et
    .
  •  D’après le théorème du rang,
    .

Ici, le théorème est bien vérifié car

.

Question 6

Vérifier que le vecteur

appartient à
.

Puisque

alors
.

Question 7

Est-ce que

est injective ? Est-ce que
est surjective ? Justifier.

D’après la question (b),


et puisque
alors
donc
est surjective.


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