iMadrassa
Exercice 2

Soit

définie par :

Question 1

 

est-elle continue sur
 ?

D’une part,

est continue sur
comme quotient de deux foncions continues dont le dénominateur ne s’annule pas. En utilisant l’inégalité classique :
, on obtient :
ce qui prouve la continuité de
en
.

Question 2

est-elle de classe
 ?

Remarquons d’abord que

est de classe
  sur 
, comme quotient de deux fonctions de classe
  dont le dénominateur ne s’annule pas.
Par ailleurs, si
on a

D’autre part, on a
, ce qui prouve que
existe et vaut 0. On a alors :

Où on a utilisé que
, ceci prouve que
existe et est continue sur
²
.
Par symétrie des roles joués par
et
dans l’expression de
, le meme résultat est vrai pour
. On a donc prouvé que
est de classe
  sur
.

Question 3

est-elle différentiable sur
 ?

Puisque toute fonction de classe

est différentiable, alors
est différentiable sur
.


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