iMadrassa
Exercice 2

Une sphère

conductrice de rayon
est placée au centre d’une sphère creuse conductrice
de rayon interne
et de rayon externe
. Un générateur
assure un potentiel constant
à la sphère
ou
, à laquelle il est relié au moyen d’un commutateur
(Figure
). Les deux conducteurs
et
sont initialement neutres. L’interrupteur
permet de relier le conducteur
à la terre.

Question 1

Le générateur est relié au conducteur

(
en position
et
ouvert)

a- Représenter, qualitativement, la répartition des charges qui apparaissent sur les conducteurs

et

b- Calculer les charges

et
portées respectivement par les sphères
et

Réponse 1

a- Représentation des charges:

Le générateur est relié au conducteur

 :(
en position
et
ouvert)

Des charges

vont se répartir uniformément sur la surface extérieur du conducteur
 :

b- Calcul des charges:

et comme elle est en influence totale avec la surface interne de
,

 

Question 2

Le commutateur

est sur la position
, c'est-à-dire que le conducteur
est relié au générateur, le conducteur
est relié à la terre (
fermé)

Représenter, qualitativement, la nouvelle répartition des charges qui apparaissent sur les deux conducteurs

et
.

Réponse 2

est en position
et
est fermé :

Une charge

apparait sur la surface de la sphère
, par influence totale,
.

La liaison de

avec la Terre fait que les charges
sont neutralisées : il n'y a pas de charges sur la surface externe de

Question 3

Déterminer les expressions du champ et du potentiel électriques dans les régions

et
de l'espace.

Réponse 3

Les expressions du champ électrique dans les différentes régions de l’espace :

On choisit comme surface de Gauss une sphère de rayon

, on applique le théorème de Gauss :

Pour des raisons de symétrie, le champ est radial :

et constant.

est un vecteur unitaire :

et
sont colinéaires donc

Donc

  •  : 
  •  :
  •  : 
  •  :

Les potentiels dans les différentes régions :

On a

, le champ est radial, on peut donc écrire
d’où 

  •   (à l’infini le potentiel est nul)

 

Question 4

Calculer les nouvelles charges

et
portées respectivement par les sphères
et
.

Réponse 4

Calcul des nouvelles charges :

Pour

on a
  avec
  et 

Question 5

Les deux conducteurs, ainsi montés, forment un condensateur sphérique. Déterminer l'expression de sa capacité électrique. Que devient cette expression si les valeurs de

et
sont très proches :
et
 ?

Réponse 5

Détermination de la capacité du condensateur formé :

Dans le cas où

et
, on obtient :
soit 
(
est la surface de la sphère)

 


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