iMadrassa
Exercice 7

On abandonne sans vitesse initiale un bloc de masse

à partir du sommet (position
) d’un plan incliné faisant un angle
avec l’horizontale. Le bloc glisse sans frottement et vient comprimer un ressort de constante de raideur
en bas du plan incliné.

On note

la distance initiale entre le bloc et le ressort (en position
lorsqu’il n’est pas comprimé). Au moment du choc, le ressort est comprimé d’une longueur
(position
) avant qu’il ne se détende à nouveau. Les frottements entre la masse et le sol sont négligeables.

Question 1

Démonter que l’énergie potentielle élastique

du ressort en fonction de son allongement
s’écrit
(préciser l’origine de cette énergie). 

Réponse 1

La force élastique dérive d’un potentiel

donc :

En choisissant comme origine de l’énergie potentielle

on a

Par conséquent :

Question 2

Rappeler le théorème de l’énergie mécanique totale. Que peut-on dire de l’énergie mécanique pour le système étudié ? 

Réponse 2

Théorème de l’énergie mécanique totale :

Les frottements sont dits négligeables, le théorème donne :

L’énergie mécanique totale d’une particule soumise à des forces conservatives est constante.

Question 3

Donner les expressions des énergies totales aux points

et

Réponse 3

Les énergies totales en

et
 :

On choisi le point

comme origine des énergies potentielles gravitationnelles :

Le bloc est abandonné sans vitesse initiale donc

 

Au point

le ressort se détend à nouveau, à ce moment la vitesse du bloc est nulle

Question 4

Déduire l’expression de la constante de raideur

en fonction de
et

Réponse 4

L’expression de la constante

 :

L’énergie mécanique totale est constante au cours du mouvement

Question 5

Si maintenant le contact entre le corps et le plan incliné est caractérisé par un coefficient de frottements 

, quelle est l’expression de la hauteur maximale atteinte par la masse
lorsqu’elle est lâchée du point
sans vitesse initiale (le ressort est comprimé d’une longueur
) ?

Réponse 5

La hauteur maximale :

En présence de frottement, la variation d’énergie mécanique totale devient :

Soit

(de hauteur
) le point atteint par le bloc après avoir été lâché du point

car perpendiculaires

On applique la relation fondamentale de la dynamique sur le bloc :

Par projection sur l’axe

 :

On sait que

On a alors

Ce qui donne

La hauteur :

 


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