iMadrassa

الدالة الأسية نظريات و تعاريف

ادخال دالة مرجعية جديدة هي الدالة الأسية
 إعطاء الخواص الأولى لهذه الدالة

I نظرية و تعريف

قبل التعريف بالدالة الأسية نحتاج إلى الفرضية التالية:

  • إذا كانت
    دالة قابلة للإشتقاق على
    حيث
    و
    فإن
    لا تنعدم على

نبرهن أنه من أجل كل

من
:  
مع أخذ الفرضيات:  "
على  
و
"

  • نضع من أجل كل من
    :
    ثم نبرهن أن

و

دالة قابلة للإشتقاق على
إذن الدالة
أيضا قابلة للإشتقاق على

و بالتالي

قابلة للإشتقاق على
كونها جداء دالتين قابلتين للإشتقاق على
.

  • من أجل كل
    من
    لدينا:  

بما أن

و
حسب الفرضية  
على
 
فإن

 بما أن
فإن
حيث
ثابت حقيقي 
و لكن
إذن
و بالتالي

إذن  
أي أن الجداء
 في
لا ينعدم على

نظرية وجود و تعريف الدالة الأسية

توجد دالة وحيدة معرفة و قابلة للإشتقاق على

تحقق الشرطين التاليين:
و
 
تسمى هذه الدالة بالدالة الأسية و نرمز لها بـ:
 
إذن:  
هي الدالة الوحيدة المعرفة و القابلة للإشتقاق على
حيث من أجل كل
من
:
و
 

إثبات الوحدانية

نبرهن أن الدالة "

" وحيدة لهذا نستعمل البرهان بالتناقض لكي نبرهن أن الخاصية
"
وحيدة" نفرص أن عكس
 "
غير وحيدة" صحيحة أي: توجد دالة  
معرفة و قابلة للإشتقاق على  
حيث  

من أجل كل

من
و
و

نضع:  
.
  قابلة للٌإشتقاق على
و لدينا:

لأن  

و  
إذن  
من  

حيث
ثابت من
ولكن: 

إذن  

 و بما أننا فرضنا أن  

فإن الخاصية: 
هي صحيحة و خاطئة معًا و هذا تناقض إذن الخاصية عكس
خاطئة نستنتج أن الخاصية  
صحيحة و بالتالي الدالة
وحيدة

من أجل كل

من
:  

هونتيجة مباشرة للخاصية: من أجل كل

من
:

من أجل كل ثنائية

من الأعداد الحقيقة لدينا المساواة التالية : 

ليكن

عدد حقيقي ,فإذن :

.

 نضع من أجل كل

من
:

الدالة
  قابلة للإشتقاق على
إذن:

 

لأن

إذن  
و بالتالي
حيث
ثابت من
علما أن:

 فإذن
أي أن: 


   

منه
  أي 

بوضع

نجد :

نقول أن الدالة

تحول الجداء إلى مجموع

من أجل كل عدد حقيقي

ليكن

عدد حقيقي لدينا:  

لأن المربع هو دائما موجب و بما أن من أجل كل
:

فهو موجب تماما

من أجل كل ثنائية  

من

 

من أجل كل

صحيح :

  1. الخاصية
    :لدينا: 
  2. الخاصية
    : تبرهن باستعمال البرهان بالتراجع من
    عدد طبيعي 

في حالة

عدد صحيح سالب :لدينا:

هو عدد طبيعي لأن :

فإن:

حسب خواص الأسس:

ترميز جديد

صورة للعدد

بالدالة الأسية هي العدد  
نرمز له بالرمز
 
 هي قيمة مقربة للعدد

بما أنه من أجل عدد صحيح
:  

هذا الترميز من أجل كل
صحيح يعمم من أجل كل
حقيقي.

من أجل كل

من
و
من
لدينا الخواص التالية:

من أجل كل عدد صحيح

:


قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.