iMadrassa

الدالة اللوغارتمية النيبيرية تعاريف و خواص

  • إدخال مفهوم دالة مرجعية جديدة هي الدالة اللوغارتمية
  • إعطاء الخواص الأولى للدالة اللوغارتمية
I تعريف و خواص
  • ننطلق من مفهوم الدالة الأسية و نستعمل نظرية القيم المتوسطة :

الدالة الأسية هي دالة مستمرة (لأنها قابلة للإشتقاق) و متزايدة تماما على

.

نهايات الدالة

عند
و
هي:  
و
 

إذن صورة المجال

 بالدالة
هو المجال
(يمكن كتابة

إذن حسب نظرية القيم المتوسطة : من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما  

يوجد عدد حقيقي وحيد

حيث

العدد الحقيقي

هو الحل الوحيد للمعادلة
 و يسمى اللوغاريتم النيبيري للعدد الموجب
نرمز له بالرمز  
إذن  

الدالة اللوغاريتم النبيري التي نرمز لها بالرمز

هي الدالة المعرفة على  
و التي ترفق بكل عدد حقيقي موجب تماما
العدد الحقيقي  حيث
هو الحل الوحيد للمعادلة
ذات المجهول

  • لدالة
    هي الدالة التي تحقق
    حيث
    عدد حقيقي موجب تماما 

من أجل كل ثنائية

من الأعداد الحقيقية لدينا الخواص التالية: 

  • : إذا كان
    فإن :
  • :
  • :
    و

الخاصية

:  تعريف مباشر للدالة

الخاصية

: ليكن
عدد حقيقي:
إذن يمكن وضع  

حسب الخاصية
.و نعلم أن

*الخاصية
:

إذن
و
إذن

الخاصية الأساسية

من أجل كل ثنائية

من الأعداد الحقيقية الموجبة تماما لدينا المساواة التالية:

لدينا  

و
عددان حقيقيان حيث  
و

إذن يمكن وضع :
و

لدينا :
و  

 إذن  
منه

نقول أن الدالة اللوغاريتمية النيبيرية تحول الجداء إلى مجموع.

  • : من أجل كل عدد صحيح
    :

ليكن

و
عددان حقيقيان حيث  
و  

الخاصية
: لدينا :  
 إذن

  بما أن :  
فإن
صحيحة 
الخاصية
: نستعمل

الخاصية
: نستعمل البرهان بالتراجع (لم يدرس بعد) من أجل
صحيح طبيعي ثم من أجل
صحيح غير طبيعي
لدينا:  

الخاصية
:  
إذن

II الدالة المشتقة للدالة $$ln$$:

الدالة

مستمرة و قابلة للإشتقاق على
و من أجل كل
من
لدينا :  

ليكن

عدد حقيقي حيث  

 لدينا:  

بما أن:
قابلة للإشتقاق على
فإن
قابلة للإشتقاق أيضا على
إذن
منه  
إذن
و بالتالي  


قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.