iMadrassa

الترتيب -المجالات-القيمة المطلقة

I الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية

a و b عددان حقيقيان

 نقول أن a أصغر أو يساوي b إذا و فقط إذا  

 عدد سالب ونكتب  
 معناه  

نقول أن a أكبر أو يساوي b إذا و فقط إذا  

 عدد موجب ونكتب 
  معناه  

 

 نقول أن a أصغرتماما من b إذا و فقط إذا

 و
 ونكتب  

 نقول أن a أكبر تماما من b إذا و فقط إذا 

 و 
 ونكتب  

مقارنة بين العددين a   و b هو تبيين من هي الجملة الصحيحة من بين الجمل:

،  
،  

نسمي الجمل

،  
،
،
متباينات

قارن بين 

 و 

 

 ومنه  

 و منه 
 ينتمي إلى  
 وبما  أن 
 فإن
 أصغر تماما من 

 

 ونكتب 

 

أ خاصية التعدي
المتباينات والعمليات في

مبرهنة : b ، a و c  ثلاثة أعداد حقيقية 

إذا كان 

 و 
 فإن 

و نقول في هذه الحالة أن علاقة الترتيب علاقة متعدية

 

الدليل: إذا كان   

 فإن  
 عدد سالب و إذا  
 فإن  
عدد سالب

 و بما أن مجموع عددان سالبان عدد سالب فإن 

 عدد سالب

و منه  

 عدد سالب و منه  

II المتباينات والعمليات في $$\mathbb{R}$$
1 المتباينات و الجمع

إذا كانت

  أعداد حقيقية 

 تكافئ  

إذا كان 

 و 
 فإن  

 

الدليل:

 

 تكافئ 
 عدد سالب و بما أن 
 فإن 
  تكافئ 

 عدد سالب و منه 
  تكافئ  
     وبما أن  
  

فإن  

 عدد سالب ومنه  

2 المتباينات و الضرب

a ، b ، c ثلاثة  أعداد حقيقية 

  • إذا كان 
     فإن : 
     تكافئ 
  • إذا كان 
     فإن : 
     تكافئ 

 

الدليل :

 

  •  تكافئ 
     عدد سلب و بما أن  
    فان (جداء عدد سلب بعدد موجب تماما نتيجته سالبة)

 

 تكافئ 
 سالب و بما أن  
 فإن
 تكافئ 
 عدد سالب و هذا معناه أن 

 

  •  تكافئ 
     عدد سلب و بما أن  
     فان (جداء عدد سلب بعدد سالب تماما نتيجته موجبة)

 

 تكافئ 
 موجب و بما أن  
فإن 
  تكافئ 
 عدد موجب و هذا معناه أن 

 

إذا كانت c ، b ،a و d  أعدادحقيقية موجبة

 

  • إذا كان
      و 
     فإن  
  •  تكافئ 
  •  تكافئ  

 

الدليل: نعلم أن

،
،
و
أعداد حقيقية موجبة

 

  • إذا كان
    فإن
    عدد سالب و إذا كان
    فإن
    عدد سالب و منه

عدد سالب و
عدد سالب و منه
عدد سالب و
عدد سالب ومنه
عدد سالب و منه
عدد سالب و منه

 

 

  •  إذا كان
    فإن

و
و منه حسب الخاصية الأولى من هذه المبرهنة
و منه 

 

  •  إذا كان
    فإن
    عدد سالب و منه
    عدد سالب و بما أن
    عدد موجب فإن
    عدد سالب و منه

 

  • الخاصية
    تكافئ
    تستنتج من الخاصية
    تكافئ
3 المتباينات والمقلوب

مبرهنة:

إذا كان a وb  عددان موجبان تماما فإن :  

  تكافئ   

الدليل:  

 تكافئ  
 عددموجب وتكافئ 
 عدد موجب و تكافئ  
 عدد موجب لأن ab عدد موجب تماما و منه ستكافئ 
  التي تكافئ  

 

عندما تكون طرفي المتباينة سلبين معا، نضرب الطرفين  باشارة سالبة  ونغير إشارة المتباينة ونطبق الخواص المعطاة على الأعداد الموجبة 

 x و y  عددان حقيقيان

  •  تكافي 
     تكافي 

 

  •  تكافي  
      تكافي 

 

  •  تكافي 
     تكافئ 

 

  • تكافي 
      تكافي
    تكافي
    تكافي

 

  • إذا كان  
     و 
     تكافئ
    و 
     و منه  
III المتباينات والعمليات في $$\mathbb{R}$$

 a  و b   عددان حقيقيان حيث  

نسمي مجالا مغلقا حداه a وb ، مجموعة الأعداد الحقيقية x حيث :  

 و نرمز إليه ب : 
؛

 

ونمثل هذا المجال على المحور

 بالقطعة المستقيمة

 حيث A هي النقطة التي فاصلتها a و B هي النقطة  التي فاصلتها b

  •  مختلف أنواع المجالات :

  •  تقاطع واتحاد مجالين 

 

  • نسمي تقاطع المجالين I و J المجال
     المتكون من الأعداد الحقيقية التي تنتمي إلى I   او J
  • نسمي اتحادالمجالين I و J المجال
     المتكون من الأعداد الحقيقية التي تنتمي إلى  I و J

نفرض أن 

؛
 و 
؛
 منه  
؛
 و  
؛

لإيجاد تقاطع أو أتحاد مجالين نلوّن المجالين بألوان مختلفة ثم نأخذ مجموعة النقط الملونة بللونين للتقاطع و نأخذ مجموعة النقط الملونة (مهما كان لونها ) للاتحاد

1 القيمة المطلقة والمسافة

  xعدد حقيقي و M نقطة من المستقيم

 المزود  بالمعلم
  فاصلتها x

نسمي القيمة المطلقة للعدد x العدد الحقيقي الذي نرمز إليه ب: 

  و هو المسافة OM

و بما أن المسافة دائما موجبة فإن :

  •  إذا كان 
  •  إذا كان 

  •  لأن 
     عدد موجب  
  •  لأن 
     عدد  سالب

 

أ خواص القيمة المطلقة

من أجل كل عدد حقيقي x و من أجل كل عدد حقيقي y :

  • و إذا كان 
      فإن  
  •  إذا كان   
ب المسافة بين نقطتين و بين عددين

▪ مبرهنة و تعريف

A و B نقطتين من المستقيم (D) المزود  بالمعلم

 

فاصلتها a و b على هذا الترتيب 
المسافة بين النقطتين A و B هي  


ونسمي أيضا العدد  |b-a|=|a-b| المسافة بين العددين a و b ونرمز إليها بالرمز  

حصر عدد حقيقي

 نسمي حصرا للعدد الحقيقي x كل مجال

  مع
من R
يشمل العدد
و نكتب:

و نسمي العدد

القيمة المقربة بالنقصان للعدد
و نسمي العدد
القيمة المقربة بالزيادة للعدد

الحاسبة تعطي النتيجة التالية لما نضغط على

و منه  
 يعتبر حصرا للعدد
إلى

القيمة المطلقة والمجالات

 x عدد حقيقي كيفي و a عدد حقيقي موجب 

تكافئ
تكافئ 
؛

 

الدليل 

تكافئ
تكافئ
تكافئ
تكافئ

تكافئ
وتكافئ
تكافئ

 

إذا كان

فإن:
و
و بما أن
فإن
و منه

 

 إذا كان

فإن
و
و منه    

 

إذا كان

فإن
و
و بما أن 
 فإن 
 و منه  

 

و منه  

  تكافئ
 تكافئ 
؛

 c عدد حقيقي كيفي،r  عدد حقيقي موجب، من أجل كل عدد حقيقي  x: 

   تكافئ  
  تكافئ  
؛
 تكافئ  
؛
 

منه لما نضع 

 منه بالجمع نجد 
 و منه  
 و بالطرح نجد 
 منه 

يمكن أن نعبر على نفس  مجموعة الأعداد بقيمة مطلقة أو بمجال أو بحصر أو بمسافة باتباع الطريقة التالية

لما تعّرف المجوعة بالمجال [a ؛ b] نبحث عن cمركز المجال  و  r  نصف قطره  بالتعويض في   

 و 
 

لما تعرف المجموعة بمسافة أو بقيمة مطلقة نستخرج  و  ثم نعوض في الجملة 

 لإيجاد المجال و الحصر

 

نعتبر المجموعة المتكونة من الأعداد الحقيقية   x حيث 

؛
 نستنتج مباشرة الحصر: 
 ثم نبحث عن  مركز المجال : نعلم أن  
 منه 
 منه 
 

و نبحث عن r نصف قطر المجال : نعلم أن 

 و منه 
 و منه 
 و منه 

نعتبر الآن المجموعة المعرفة بالقيم المطلقة  

نكتب القيمة المطلقة على الشكل 

 لكي يتضح ما هي قيمة 
هنا  
و
  و منه 
 و منه  $$(a=c-r=-2-3=-5)$$ و منه   
 و منه المجال هو
؛
و الحصر هو  

 

  • إختبارات
  • 22
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • MED abdou
  • 417 نقطة
  • ادم طلال بوسيف
  • 354 نقطة
  • رباب جعفري
  • 269 نقطة
  • anis krim
  • 217 نقطة
  • adnan albi
  • 200 نقطة
  • ولاء بوزار قوادري
  • 200 نقطة
  • ikram aissiou
  • 200 نقطة
  • abdou abdou
  • 200 نقطة
  • عبد الرحمان دحماني
  • 200 نقطة
  • hayem belkhatir
  • 200 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.