iMadrassa

عموميات على الدوال

I عموميات على الدوال
مفهوم دالة

نعرف دالة 

على الجزء 
  من مجموعة الأعداد الحقيقية
لما نرفق بكلّ عدد x من
عددا حقيقيا وحيد y  و نكتب:

مصطلحات:

  • نسمي العدد
    صورة العدد 
    بالدالة 
    ونرمز إليه ب: 
  • نسمي العدد 
    سابقة العدد 
    بالدالة
  • نسمي الجزء 
    مجموعة تعريف الدالة 
    و نرمز إليها ب:

 

 

تعريف دالة بدستور

نعرف الدالة

 بإعطاء مجموعة تعريفها 
و بإعطاء دستور يسمح بإيجاد  
 من أجل كل عدد x من 

دالة معرفة على
؛
كما يلي : من أجل كل عنصر x من

؛
  ،

مجموعة تعريف الدالة 

 هي:
؛

 

صورة العدد 0 بالدالة

هو العدد
حيث :

و هو

 

صورة العدد

بالدالة
هو العدد
حيث :
 و هو :

 

صورة العدد (1) بالدالة

هو العدد
حيث : 
و هو

 

نلاحظ أن من الممكن أن نجد عددين لهما نفس الصورة بدالة

العدد (-5) ليس له صورة بالدالة

 لأن (-5) لا ينتمي إلى

 

صورة العدد 3 بالدالة

 هو العدد x الذي ينبغي أن ينتمي إلى
 و يحقق
معناه
معناه
معناه
معناه 
أو

 

و بما أن

لا ينتمي إلى
؛
و
  ينتمي إلى
؛
فإن العدد 3 له سابقة واحدة بالدالة
  وهي

II التمثيل البياني لدالة

نسمي التمثيل البياني للدالة

 في المستوي المنسوب إلى المعلم
مجموعة النقط
من المستوي حيث:

   و
علما أن
هي مجموعة تعريف الدالة 
 ونرمز  إليه ب:  
 ونقول أن
 هي معادلة   

نعتبر في هذا المثال الدالة g المعرفة على 

   ب:

التمثيل البياني للدالة g في المستوي المنسوب إلى المعلم

هي المجموعة 
المتكونة من كل النقط
من هذا المستوي التي تتوفر فيها الشروط: 
  و
معناه 
تنتمي إلى
إذا و فقط إذا (x≠1) و

 

و منه النقطة

تنتمي إلى
لأن (0≠1)  و

النقطة

لا تنتمي إلى
لأن

 

لإيجاد نقط

نأخذ قيم للمتغير  x   و نعوض في
لإيجاد y  و نحصل على جدول من هذا الشكل

 

و لرسم 

  ينبغي دراسة الدالة g  ثم نمثل النقط في المستوي و نربط بينها دون استعمال المسطرة

1 تعريف دالة بتمثيلها البياني

يمكن أن نعرف دالة بإعطاء تمثيلها البياني

لتكن  دالة h  و ليكن

 تمثيلها البياني المرسوم في الوثيقة التالية

من هذا التمثيل البياني نستخرج

مجموعة تعريف

للدالة h :

 

لإيجاد صورة العدد 2.5 بالدالة  نتبع المراحل التالية :

نمثل النقطة

التي فاصلتها2.5 على محور الفواصل ثم نرسم انطلاقا منهاالمستقيم (D) الموازي لحامل محور التراتيب

نعين نقطة تقاطع المستقيم

مع المنحنى
هنا هي النقطة    C

 

انطلاقا من النقطة C نرسم المستقيم

الموازي لحامل محور الفواصل الذي سيقطع محور التراتيب في النقطة

  •  نقرأ ترتيب
    هنا 5.2 تقريبا و منه صورة العدد 2.5 بالدالة h هي  h(2.5) ≈ 5.2
  •  لإيجاد سابقة العدد 2 بالدالة h نتبع المرحل التالية
  •  نمثل على محور التراتيب النقطة F التي ترتيبها 2
  •  انطلاقا من F نرسم المستقيم
    الموازي لحامل محور الفاصل و الذي يقطع المنحنى
    في النقطتين E و G
  •  انطلاقا من النقطتين  E و G نرسم المستقيمين (D2) و (D3) الموازيان لحامل محور الترتيب
  • و
    يقطعان حامل محور الفواصل في النقطتين
    و
    التي فاصلتها
    و

و منه للعدد 2 سابقتين بالدالة h  هي

و

2 تغيرات دالة

f دالة معرفة على المجال I من

 

  • (  دالة متزايدة تماما على المحال ) معناه

(من أجل كل عددين a وb من I : إذا كان

فإن

 

  • (  دالة متناقصة تماما على المحال ) معناه

(من أجل كل عددين a و b من I : إذا كان

فإن

( f دالة ثابتة  على المحال I) معناه

من أجل كل عددين a و b من 

 

 

  •  
    دالة متزايدة على المحال 
    معناه
    من أجل كل عددين a وb من I : إذا كان
    فإن

 

  •  
    دالة متناقصة على المحال 
    معناه
    من أجل كل عددين a وb من I : إذا كان
    فإن

 

دراسة اتجاه تغيّر دالة هو تعيين المجالات التي تكون فيها الدالة متزايدة تماما والمجالات التي ستكون فيها الدالة متناقصة تماما والمجالات التي ستكون فيها الدالة ثابتة ونلخص هذه النتائج في جدور يدعى جدول تغيرات الدالة

الدالة 

المعرفة على
ب:
متزايدة تماما على
؛
و متناقصة تماما على
؛


الدليل:

 

  •  من أجل كل عددين
    و
    من
    ؛
    : إذا كان
    فإن
    و هذا طبقا للدرس السابق الخاص بالترتيب في
    و منه
    و منه
    و منه
    متزايدة تماما على
    ؛

 

  •  من أجل كل عددين
    و
    من
    ؛
    : إذا كان
    فإن
    و منه
    و منه
    هذا طبقا للدرس السابق الخاص بالترتيب في
    و منه
    و منه
    و منه 
    متناقصة  تماما على
    ؛
    و نلخص كل هذه النتائج في الجدول التالي :

 

يمكن تشكيل جدول تغيرات دالة انطلاقا من تمثيلها البياني
الوثيقة التالية تظهر

التمثيل البياني للدالة f في المستوي المنسوب إلى معلم

من الرسم نستنتج أن :

  • معرفة على
    ؛
  • f متزايدة تماما على
    ؛
    و أن
    دالة ثابتة على
    ؛
    و متناقصة تماما على
    ؛
    و منه جدول تغيراتها سيكون كالتالي :

 

3 القيم الحدية لدالة

f دالة معرفة على المجال I من
و a عدد حقيقي من المجال

 

  •  
    قيمة حدية عظمى للدالة 
    على المجال
    معناه

من أجل عدد حقيقي x من

وهذا معناه أن
هي أكبر قيمة تأخذه صور الدالة
على المجال

 

  •  
    قيمة حدية صغرى للدالة
    على المجال
    معناه
    من أجل عدد حقيقي
    من

وهذا معناه أن

هي أصغر قيمة تأخذه صور الدالة
على المجال
 

مثال:

 

الدالة

معرفة على المجال
؛
وعلى  هذا المجال
تقبل قيمة حدية عظمى وهي
وتساوي 3 و تقبل قيمة حدية صغرى على هذا المجال و هي
التي تساوي
  و منه من أجل كل عدد حقيقي
من المجال
؛

 

4 شفعية دالة

f دالة و

مجموعة تعريفها

  •  ( f دالة زوجية) معناه (من أجل كل عدد حقيقي x من
    و

 

وفي هذه الحالة التمثيل البياني

للدالة f في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس
يقبل محور التراتيب كمحور التناظر

 

  •  ( f دالة فردية) معناه (من أجل كل عدد حقيقي xمن
      و

وفي هذه الحالة التمثيل البياني

للدالة f في المستوي المنسوب إلى المعلم
يقبل المبدأ
كمركز التناظر

 

 

الدالة

المعرفة على
ب
دالة زوجية لأن من أجل كل عدد حقيقي
:
عدد حقيقي ولأن


ومنه تمثيلها البياني

في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس 
  يقبل محور التراتيب
كمحور التناظر كما تأكده الوثيقة التالية

الدالة

المعرفة على
ب
دالة زوجية لأن من أجل كل عدد حقيقي
:
عدد حقيقي ولأن
)


ومنه تمثيلها البياني

  في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس 
يقبل المبدأ
كمركز التناظركما تأكده الوثيقة التالية

 

الدالة 

  المعرفة على
ب
دالة زوجية لأن من أجل كل عدد حقيقي
:
عدد حقيقي ولأن

ومنه تمثيلها البياني
  في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس 
  يقبل المبدأ
كمركز التناظركما تأكده الوثيقة التالية

 

5 حل معادلات ومتراجحات بيانيا

f دالة

تمثيلها البياني في المستوي و
دالة أخرى و
تمثيلها البياني في نفس المستوي
▪ حلّ المعادلة
معناه تعيين فواصل نقط تقاطع
و

▪ حلّ المتراجحة
معناه تعيين فواصل نقط
)التي تقع تحت

▪ حلّ المتراجحة
معناه تعيين فواصل نقط
)التي تقع فوق

 

fدالة و

تمثيلها البياني في المستوي و g دالة أخرى و
  تمثيلها البياني في نفس المستوي كما تبينه الوثيقة
 التالية


 مجموعة حلول المعادلة

هي
حيث
؛

▪ مجموعة حلول المتراجحة
هي
حيث
؛

 

المعادلة

تحل بنفس الكيفية
نعتبر الدالة
حيث
، تمثيلها البياني
هو حامل محور الفواصل و منه
▪ حلّ المعادلة
معناه تعيين فواصل نقط تقاطع
مع حامل محور الفواصل
▪ حلّ المتراجحة
معناه تعيين فواصل نقط
التي تقع تحت حامل محور الفواصل
▪ حلّ المتراجحة
معناه تعيين فواصل نقط
التي تقع فوق حامل محور الفواصل

 

6 الدالة التآلفية

نسمي دالة تآلفية كل دالة f معرفة على

ب:
علما أن
و
عددان حقيقيان

▪إذا كان

و
معناه
فنسمي الدالة
دالة خطية و
a معامل التناسبية
▪ إذا كان
معناه
فنسمي الدالة
دالة الثابتة مهما كانت قيمة
b

الخاصية المميزة للدالة التآلفية

دالة عددية معرفة على

(
دالة تآلفية) معناه (من أجل كل عدد حقيقي a ومن  أجل كل عدد حقيقي
حيث
عدد ثابت)

• التمثيل البياني للدالة التآلفية

التمثيل البياني للدالة التآلفية f حيث

في المستوي المنسوب إلى معلم هو المستقيم
ذو معامل
التوجيه a والذي  يشمل النقطة

ونسمي في هذه الحالة العدد
الترتيب إلى المبدأ، ونسمي المعادلة
المعادلة المختصرة أو المبسطة
للمستقيم

اتجاه تغير الدالة التآلفية

دالة تآلفية حيث

دالة متزايدة تماما على
إذا وفقط إذا كان
وجدول  تغيراتها هو

 

دالة متناقصة تماما على
إذا وفقط إذا كان
و جدول تغيراتها هو

إشارة العبارة (ax+b)

•إذا كان

فإن
تكافئ

•إذا كان
فإن:
تكافئ
و
تكافئ
ونلخص هذا الجدول التالي

 

إذا كان

فإن :
  تكافئ 
  و
  تكافئ 
  ونلخص هذا الجدول التالي :

 

إذا كان (a≠0) فإن

  • إختبارات
  • 20
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • مروة صياد
  • 200 نقطة
  • هاجر قدوار
  • 200 نقطة
  • abdelilah abdelilah
  • 200 نقطة
  • Guerrachr Ramdane
  • 200 نقطة
  • ALI ZOBIRI
  • 200 نقطة
  • hayem belkhatir
  • 195 نقطة
  • Mahdi BRIANE
  • 185 نقطة
  • Nessrine Meriem
  • 178 نقطة
  • hiba88 kim
  • 177 نقطة
  • عبد الرحيم ياسين
  • 177 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.