iMadrassa

المعادلات و المتراجحات

النشر والتحليل

القاعدة الأساسية:

من أجل كل أعداد حقيقية

؛
و
:

  •  لما نمر من
       إلى
    ، حولنا الجدا
    إلى مجموع حدين هما

و

نسمي هذه العملية نشر الجداء

 x عدد حقيقي

  • لما نمر من
      إلى
    ، حولنا المجموع
    إلى جداء حدين هما aو

نسمي هذه العملية تحليل المجموع

 

المتطابقات الشهيرة

من أجل كل عددان حقيقيان 

و
لدينا:

 

المعادلتين المتكافئتان
  • مصطلحات

مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقي
 

 

،

و
عبارتين تتضمن المتغير الحقيقي

 

حل المعادلة 

في المجموعة 
هو تعيين كل قيم 
من 
التي تحقق المساواة بين
و 

 

نسمي هذه القيم حلولالمعادلة

في

المجموعة المرجعية 

حل المعادلة

 في 
هو البحث عن الأعاد الحقيقية
 التي تجعل العبارة
 تساوي 0

 

تكافئ
   تكافئ  
  تكافئ

 

 تكافئ

 

ومنه المعادلة

 تقبل حلا واحدا في
 وهو  

نقول عن معادلتين إنهما متكافئتان عندما يكون لهما نفس الحلول

- عندما نضيف نفس العدد لطرفي معادلة نحصل على معادلة مكافئة لها

- عندما نضرب في نفس العدد الغير معدوم طرفي معادلة نحصل على معادلة مكافئة لها

أنواع المعادلات

• المعادلة "جداء معدوم"

نسمي معادلة "جداء معدوم" كل معادلة من الشكل:

تكافئ 
 أو 

 

حل في

  المعادلة
تكافئ

تكافئ

كافئ 

تكافئ
تكافئ
أو

 

تكافئ

  أو
ومنه المعادلة
تق بل  حلين هما 1و
في

ونقول  أيضا أن مجموعة حلول المعادلة  

  هي 
   حيث 

إذا كان

عدد حقيقي غير معدوم فإن: 
  تكافئ

حل في

   المعادلة :   

 

 تكافئ  
 تكافئ  
  و منه المعادلة :

 

  

   تقبل حلا واحدا و هو 
ونقول  أيضا أن مجموعة حلول المعادلة  
 هي

حيث 

المعادلة "حاصل قسمة"

نسمي معادلة "حاصل قسمة" كل معادلة من الشكل : 

 

   تكافئ
و

حل في  مجموعة الأعداد الحقيقية

 المعادلة

 

تكافئ 
تكافئ  
  تكافئ
تكافئ
  و

 

  تكافئ 
و بما أن هذه القيمة تحقق الشرط
  فهي مقبولة و منه مجموعة حلول المعادلة

 

  هي
حيث  

 

المتراجحات

مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية

،
و
عبارتين تتضمن المتغير الحقيقي

 

حل المتراجحة

في المجموعة
هو تعيين كل قيم
من
التي تجعل العدد
أصغر أو يساوي
ا

لعدد و 

ونسمي هذه القيم حلول المتراجحة
في المجموعة المرجعية

 

  • إشارة العبارة
    لما

 

 

نعلم أن :إذا كان

  العبارة
 تأخذ إشارة
على المجال
؛
   و تأخذ إشارة
 على المجال 
؛

 

 

• المتراجحة "جداء"

نسمي متراجحة "جداء " كل متراجحة من الشكل:

أو

تكافئ (
و
من نفس الإشارة )

تكافئ (
و
من نفس الإشارة وغير معدومين )

 

حل في مجموعة الأعداد الحقيقية

 المتراجحة

 

تكافئ
  تكافئ
  تكافئ

 

تكافئ

  و
  من نفس الإشارة و 
  و 

 

ومنه مجموعة حلول المتراجحة

 هي
  حيث  
؛؛

المتراجحة "حاصل قسمة"

نسمي متراجحة "حاصل قسمة" كل متراجحة منالشكل:

 أو

 تكافئ   (  
  و
  من نفس الإشارة و 
غير معدوم )

 

 

تكافئ  (
  و
  من نفس الإشارة و غير معدومين )

حل في مجموعة الأعداد الحقيقية المتراجحة

ندرس إشارة البسط (x-3)   ثم ندرس إشارة المقام (2-x)  ثم نرسم جدول إشارة الكسر

  ثم نستخرج من هذا الجدول مجموعة حلول المتراجحة المعطاة

 

المعادلة من الدرجة الثانية
  • نسمي معادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول الحقيقي x كل معادلة من الشكل
    علما أن

a ؛ b  وc أعداد حقيقية مع

  •  نسمي العبارة      
      ثلاثي حدود من الدرجة الثانية
  •  نسمي مميز الثلاثي حدود  
      العدد الحقيقي
    حيث  
  •  نسمي الشكل النموذجي لثلاثي حدود
    العبارة:

 بما أن

فإن يمكن استخراجه و منه  كعامل مشترك


 

و بما أن 

منه  

 

و منه

 

نعلم أن 

منه :

 

و هو الشكل النموذجي لثلاثي حدود

نعلم أن

منه :


  و هو الشكل النموذجي لثلاثي حدود

ما هو الشكل النموذجي ل

في كل حالة من الحالات التالية


1)

منه
و
و

 

لنحسب

  ، بالتعويض نجد  
   و

 

 

  

 

و منه  

 

2)

منه
و
و

 

لنحسب

، بالتعويض نجد 

 

  و

 

  و منه 

 

3)

منه
  و  
و

لنحسب

، بالتعويض نجد 
و  

 

و منه 

المعادلات من الدرجة الثانية

؛
و
أعداد حقيقية مع
و  ليكن
   مميز  الثلاثي حدود
  

 

  • إذا كان
    سالب تماما فإن المعادلة   
       لا تقبل حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية  

 

  • إذا كان
    معدوم فإن المعادلة   
       تقبل حلا مضاعفا في  مجموعة الأعداد الحقيقية  
       و هو   
    و

 

  • إذا كان 
      موجب تماما  فإن المعادلة   
       تقبل حلين مختلفين في  مجموعة الأعداد الحقيقية 
      و هما

 

  و 
و  

 

 

 

حل في كل حالة من الحالات التالية المعادلة 

 
1)

منه
و
و

لنحسب

، بالتعويض نجد 
  و بما أن
موجب تماما المعادلة
  تقبل حلين مختلفين هما : 
   و 

و هما   
    و

 

 

   و 

  و منه
   و 
و يمكن تحليل 
كما يلي

 

و بالتعويض نجد

  و منه


2

)

منه
  و 
و 
  

 

  لنحسب

، بالتعويض نجد

 

وبما أن 

معدوم المعادلة 
   تقبل حلانمتساويان هما

 

 

أ و حلا مضاعفا هو

  وهو 

و هو 

و يمكن تحليل 

  كما يلي 
و بالتعويض نجد 


3)
  منه 
  و  
  و 
  لنحسب 
،  بالتعويض نجد 
  وبما أن 
  سالب تماما فإن المعادلة

 

 

لا تقبل حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية و

  لا يقبل تحليلا


إثبات صحة المبرهنة:


نعلم أن :


●  إذا كن

: فإن 
و بما أن  
لأنه مربع لعدد حقيقي  منه
و

 

بما أن 

فإن المعادلة 
لا تقبل حلول في


●  إذا كن 

: فإن 
  منه
  و منه
تكافئ 

 

 

  تكافئ

أو

 

و بما أن 

فإن
   و منه
   معناه أن المعادلة 
   تقبل حلا مضاعفا

 

و هو

و في هذه الحالة يمكن كتابة 

و منه

 

ملاحظة : يمكن استبدال الجملة "حلا مضاعفا

" ب " حالين متساويين هما
"

●  إذا كن
: فإن
  منه 
  تصبح

 

 

 

ومنه 

  يمكن تحليل الطرف الثاني و سنجد

 

 

 و منه

  و منه

 

و منه

 

تكافئ

تكافئ

 

أو
  أو 

 

و بما أن

فإن  إما 
و منه
إما

 

و منه 

  ومنه المعادلة

 

تقبل حالين متمايزين هما

 

و 

و بالتعويض في

 

 

نجد

  • إختبارات
  • 21
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • مروة صياد
  • 346 نقطة
  • MISSIPSA ABBANE
  • 240 نقطة
  • ALI ZOBIRI
  • 200 نقطة
  • Nessrine Meriem
  • 200 نقطة
  • 29 sidou
  • 200 نقطة
  • zeyneb kr
  • 200 نقطة
  • nini ko
  • 200 نقطة
  • naruto ozomaki
  • 200 نقطة
  • wahab abdou
  • 200 نقطة
  • sofia cherrad
  • 200 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.