iMadrassa

الاشتقاقية

I العدد المشتق-معادلة المماس
1 مفهوم نهاية منتهية لدالة عند العدد 0
مفهوم نهاية منتهية لدالة عند العدد 0

دالة عددية معرفة على مجال مفتوح يشمل 0

أغلبية الدوال تحقق:

إذا أقترب المتغير

بالقدر الكاف من 0 فإن العدد
  سيقترب من

 

نلخص هذه الجملة بهذه الصيغة:إذا  

  فإن   
و نكتب : 

 

نسمي العدد 

النهاية المنتهية للدالة  عند 0

النهاية المنتهية عند

للدوال المرجعية هي قيمتها عند

 

معناه إذا كانت

دالة مرجعية فإن:

2 تعريف الدالة القابلة للاشتقاق عند $$a$$

دالة  معرفة على المجال المفتوح 
و
  عدد حقيقي ينتمي إلى
  و
  عدد حقيقي كيفي

 

(

قابلة للاشتقاق عند
) إذا و فقط إذا    
أو 

 

(

قابلة للاشتقاق عند
) إذا و فقط إذا

 

 و نسمي في هذه الحالة العددالحقيقي

العدد المشتق لدالة
عند
و نرمز له ب: 

 

 و نكتب : 

 

دالة معرفة على 
  ب  : 

 

●ادرس قابلية اشتقاق الدال

عند

 

لدينا    

، لنحسب  

لدينا

 


   و                             

منه 

 

3 التفسير الهندسي للعدد المشتق

عدد حقيقي ،
دالة قابلة للاشتقاق عند
  و
تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى معلم

 

 نقطة ثابتة من

و
نقطة متحركة  على

 

معامل التوجيه المستقيم

هو  

 

  و لو نضع
 و منه

 

معامل التوجيه المستقيم 

هو

 

لما تقترب النقطة

من النقطة
  معناه لما  
   فإن
و  المستقيم 
سيحتل وضعية نهائية ممثلة بالمستقيم

 

معناه

 

المستقيم

يدعى مماس للمنحنى  
عند النقطة التي فاصلتها

 

معامل التوجيه لهذا المماس

هو  
    و هو إذن

4 معادلة المماس

دالة و
    تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى معلم

 

إذا كانت الدالة

تقبل الاشتقاق عند
فإن تمثيلها البياني  
يقبل مماسا عند النقطة  
  معادلته :   

 

 

  دالة معرفة على 
  ب : 
و تمثيلها البياني في مستوي

 

الدالة

تقبل الاشتقاق عند
و منه  
يقبل مماسا في النقطة  
  معادلته :

 

 

 و بما أن  

     و 

 

فإن:

  و هي :  
  و هو المستقيم
المرسوم في الوثيقة الموالية

 

دالة قابلة للاشتقاق عند
و تمثيلها البياني في مستوي  و
هو المماس للمنحنى 
  عند النقطة  
  كما هو مرسوم في الوثيقة  الموالية

 

عين العدد

 

 الوثيقة تظهر أن :  

 منه 

المستقيم  

يمر من النقطة  
 منه معامل التوجيه المماس  
هو  

  و  منه:  

5 التقريب التآلفي لدالة عند a:

عدد حقيقي ،
دالة قابلة للاشتقاق عند
معناه أن

 

إذا كان

 قريب جدا من 0 أي
 قريب من
فإن    

 

 و منه  

 

 

و منه 

 

نسمي العبارة    

 التقريب التآلفي للعدد  
عندما يكون
يؤول إلى 0

باستعمال التقريب التآلفي للدالة مقلوب عند 2 ، جد قيمة مقربة للعدد 

 

 

الدالة "مقلوب  

"  تقبل الاشتقاق على
    و دالتها المشتقة   
 ومنه   عددها المشتق   هو   

 

نعلم أن  

 و هذا معناه أن إذا  
صغير جدا(يؤول إلى 0) فإن : 

 

 

معناه أن :    

 

 

 و منه   

و منه بعد التعويض نجد

 

نلاحظ أن  

  هو  
  نستعمل القانون الذي تحصلنا عليه من أجل 

 

نجد :  

 و منه

 

دالة  معرفة على المجال المفتوح
 و  
 عدد حقيقي ينتمي إلى

II الدالة المشتقة – مشتقة الدوال المألوفة –العمليات على الدوال المشتقة
تعريف الدالة المشتقة

(

قابلة للاشتقاق على المجال
 ) إذا و فقط إذا (
قابلة للاشتقاق عند
من أجل كل عدد
من
)

 وفي هذه الحالة

نسمي الدالة المشتقة للدالة

الدالة
المعرفة على المجال  
 
و التي بكل عدد
العدد المشتق  
 

 

بما أننا تعودنا على تعريف الدوال بالمتغير

نستبدل في هذا التعريف (بعد إجاد  
 بدلالة
)

 

المتغير

بالمتغير
و تصبح الدالة المشتقة كالتالي    

1 الدالة المشتقة للدوال المألوفة
أ الدالة المشتقة للدالة الثابتة

عدد حقيقي ثابت

مبرهنة : الدالة الثابتة  

 تقبل الاشتقاق على
و دالتها المشتقة  
هي  

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:   

لنبرهن عن صحة هذه المبرهنة

لدينا فرضا الدالة

ثابتة

منه  

، لنحسب

 

 

منه العدد المشتق للدالة

   عند  
هو

بإستبدال  

   ب   
   نجد

 

ب الدالة المشتقة للدالة التآلفية

و
عددن حقيقيان حيث  
غير معدوم  

 الدالة التآلفية    

  تقبل الاشتقاق  على
  و دالتها المشتقة  
هي    
 

 

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:   

الدليل عن صحة المبرهنة

 لنبرهن عن صحة هذه المبرهنة

 عدد حقيقي كيفي  ، لدينا
لنبرهن أن 

  نحسب العدد المشتق للدالة   

  عند   
   منه

 

 منه

     

بإستبدال 

  ب 
  نجد 

 

ت الدالة المشتقة للدالة "مربع"

الدالة "مربع "

    تقبل الاشتقاق على 
و دالتها المشتقة
  هي 

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:  

لنبرهن عن صحة هذه المبرهنة

 عدد حقيقي كيفي ، لدينا  
،

لنحسب      

 

   

 و  
 

 

 

 

 

و منه    

 

و منه     

 

و منه     

 

و بما أن  الدالة الثابتة g ذات المتغير المعرفة ب:  معرفة عند 0 فإن   

و منه :   

  

و منه  

  و  

 

بالتالي الدالة  تقبل الاشتقاق عند    
و    
هو العدد المشتق للدالة  
عند

 

و نكتب :

 

نستبدل

 ب
في هذه النتيجة  لكي تصبح و بصفة نهائية  

ث الدالة المشتقة للدالة "القوة النونية"

 

عدد طبيعي غير معدوم 

 الدالة "القوة النونية"    

تقبل الاشتقاق  على 
و دالتها المشتقة
 هي   

 

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:   

ج الدالة المشتقة للدالة "مقلوب"

الدالة "مقلوب"  

  تقبل الاشتقاق على
   و دالتها المشتقة
 هي  
 

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:   

الدليل عن صحة المبرهنة

 لنبرهن عن صحة هذه المبرهنة

 لدينا

    لنبرهن أن    

  نحسب العدد المشتق للدالة   

  عند   
 

 

 منه     

  

بإستبدال 

  ب 
  نجد 

 

ح الدالة المشتقة للدالة "الجذر التربيعي"

الدالة "الجذر التربيعي"  

  تقبل الاشتقاق على 

  و دالتها المشتقة  

هي 

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:

لنبرهن عن صحة هذه المبرهنة


  عدد حقيقي موجب تماما ، لدينا  
، لنحسب  

 

 

و  

 

و منه 

 

و منه

 

و منه 

 

 

 

 

و بما أن  الدالة الثابتة g ذات المتغير 

  المعرفة ب:   

    معرفة عند
  لأن   

 

فإن 

 

و منه :  

 

و منه   

و بالتالي الدالة   
تقبل للآشتقاق عند
   و 
هو العدد المشتق للدالة
عند

 

و نكتب : 

 

و منه  

  يعني أن 

 

نستبدل 

ب 
في هذه النتيجة  لكي تصبح و بصفة نهائية  
  معناه  

 

 

عن صحة المبرهنتين الأخيرتين يحتاج إلى خواص الدالتين 

و
ستعطى في درس حساب المثلثات

  • إختبارات
  • 21
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • Jojo Karrom
  • 135 نقطة
  • ziad azb
  • 131 نقطة
  • BouShra Merzougui
  • 35 نقطة
  • IMANE DAIFFALLAH DAIFFALLAH
  • 20 نقطة
  • djida khamis
  • 20 نقطة
  • Ňąnő Làňő
  • 0 نقطة
  • roumayssa hafdallah
  • 0 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.