iMadrassa

الاشتقاقية 2

I عمليات على الدوال المشتقة
1

إذا كانت 

  دالة قابلة للاشتقاق على المجال
 من  
  و إذا كانت  
دالة قابلة للاشتقاق على المجال
  من 

فإن الدالة  

  تقبل الاشتقاق على 
  و من أجل كل عنصر  
  من فإن :

و نلخص هذه المبرهنة ب:  

: الدالة 

المعرفة ب :
  تقبل الاشتقاق على
 و دالتها المشتقة هي  
حيث


 منه  

 

و منه  تعتبر الدالة  

  كمجموع الدالتين  
و
  المعرفتان ب:  
و   

 

و بما أن 

هي الدالة "مربع" و نعلم أنها تقبل الاشتقاق على   
و دالتها المشتقة  معرفة ب :

 

و بما أن   

دالة تآلفية و نعلم أنها تقبل الاشتقاق على   
و دالتها المشتقة  معرفة ب  :

 

فإن  

تقبل الاشتقاق على  
  و معناه : 
      ;

 

الدليل عن صحة المبرهنة

عدد حقيقي من  
، لنحسب 

 

 

 

 

 

بتعويض  بالعدد  نجد : 

2 الدالة المشتقة لجداء دالتين

إذا كانت  

  دالة قابلة للاشتقاق على المجال 
  من
  و إذا كانت
 دالة  قابلة للاشتقاق على المجال
  من 

 

فإن الدالة 

  تقبل الاشتقاق على  
و من أجل كل عنصر  
من فإن : 

معناه أن :

الدالة 

 المعرفة ب : 
تقبل الاشتقاق على  
و دالتها المشتقة هي  
  حيث 

 

 


و منه تعتبر الدالة 

جداء  الدالتين  
  و  
المعرفتان ب:  
و   

 

و بما أن 

هي دالة تآلفية  و نعلم أنها تقبل الاشتقاق على  
و دالتها المشتقة   معرفة ب :

 

و بما أن الدالة

"الجذر التربيعي" و نعلم أنها تقبل الاشتقاق على  
  و دالتها المشتقة   معرفة ب :

 

فإن  

  تقبل الاشتقاق على 
  و معناه : 

 

و منه  

  و منه     

 

  و منه  

  ومنه 

   و منه  

 

الدليل عن صحة المبرهنة


  عدد حقيقي من  
، لنحسب  

 

 

 


 

 

 


 

 

بما أن لما 

  و   

   و    
  و منه    
 

 

 

 

  بتعويض  بالعددx نجد:    

 

 

 

إذا  

   معناه أن  
هي الدالة الثابتة 
، عدد حقيقي ثابت

 

نعلم أن الدالة الثابتة تقبل الاشتقاق على

 و أن دالتها المشتقة
 هي الدالة
 معناه أن 

 

المبرهنة 2 تصبح


 

 ومنه

 

إذا كانت

 دالة قابلة للاشتقاق على المجال 
  من فإن الدالة    
تقبل الاشتقاق على
 و من أجل كل عنصر  من 
فإن : 

3 الدالة المشتقة لحاصل قسمة دالتين

إذا كانت

 دالة قابلة للاشتقاق على المجال  
من  
و إذا كانت  
     دالة قابلة للاشتقاق على المجال 
  من

فإن الدالة 

  تقبل الاشتقاق على 

و من أجل كل عنصر  من هذا المجال فإن: 

 

 

 

الدالة   المعرفة ب  :  
تقبل الاشتقاق على  
  و دالتها المشتقة هي 
  حيث

و منه تعتبر الدالة  

كحاصل قسمة  الدالتين
  و  
المعرفتان ب:  
و   

 

و بما أن 

هي الدالة "مربع" و نعلم أنها تقبل الاشتقاق على 
 و دالتها المشتقة   معرفة ب :

 

و بما أن

  دالة تآلفية و نعلم أنها تقبل الاشتقاق على
 و دالتها المشتقة  معرفة ب :

 

فإن  

تقبل الاشتقاق على 
معناه

 و دالتها المشتقة هي :

 

 

 


 

                                                                                                                                                                                          

                                                                                                                                                                                           

الدليل عن صحة المبرهنة


  عدد حقيقي من  
، لنحسب  

 





 

بما أن لما  


 

 

 

 

 

 

بتعويض
بالعدد نجد:

 

4 الدالة المشتقة لمقلوب دالة

إذا كانت

 دالة قابلة للاشتقاق على المجال
 من  
فإن الدالة 
  تقبل الاشتقاق على
  حيث 

و من أجل كل  

عنصر من  
فإن :  

الدالة   المعرفة ب : 
  تقبل الاشتقاق على  
  و دالتها المشتقة هي
  حيث

 

و منه تعتبر الدالة  
كمقلوب   الدالة

و بما أن 

دالة تآلفية  و  نعلم أنها تقبل الاشتقاق على 
  و دالتها المشتقة   معرفة على 

فإن  

تقبل الاشتقاق على   
و  
و منه  

           

5 الدالة المشتقة لتركيب دالتين

 إذا كانت  

دالة قابلة للاشتقاق على المجال
  من  
و إذا كانت
  دالة قابلة للاشتقاق على المجال

 

فإن الدالة 

  تقبل الاشتقاق على 
و من أجل كل عنصر
 من هذا المجال  فإن :

 

: الدالة 

المعرفة ب :
تقبل الاشتقاق على  
و دالتها المشتقة هي
   حيث 


  ، نلاحظ أن 

معناه أن  تعتبر الدالة  

  كتركيب الدالتين  
  و
  المعرفتان ب: 
و  
  على هذا الترتيب

و بما أن 

هي الدالة التآلفية   و نعلم أنها تقبل الاشتقاق على 
  و دالتها المشتقة  معرفة ب :

و بما أن

  دالة "الجذر التربيعي"  و نعلم أنها تقبل الاشتقاق على
 و دالتها المشتقة  معرفة ب :

لكي

  تقبل الاشتقاق ينبغي أن:
  ينتمي إلى 
  معناه ( 
) أي

منه الدالة

  تقبل الاشتقاق على
  و دالتها المشتقة معرفة ب التي هي:   

 

    يمكن تلخيص هذه المبرهنات في الجدول التالي علما أن

  دالة قابلة للاشتقاق على المجال
من

 و إذا كانت
  دالة قابلة للاشتقاق على المجال

- الدالة كثيرة الحدود تقبل الاشتقاق على

2

- الدالة الناطقة معرفة كما يلي : 

علما أن 
و  
كثيري الحدود

 

الدالة الناطقة تقبل الاشتقاق على مجموعة تعريفها          و

3

- الدالة الصماء معرفة ب:  

  علما أن  كثير الحدود 

 

الدالة الصماء تقبل الاشتقاق على المجال الذي يكون فيه

و  

II تطبيقات الدالة المشتقة
1 اتجاه تغير دالة

 

دالة قابلة للاشتقاق على المجال
من
و  دالتها المشتقة

إذا كانت

 موجبة تماما على المجال فإن
متزايدة تماما على

إذا كانت

 سالبة تماما على المجال فإن
متناقصة تماما على

إذا كانت م  

عدومة على كل المجال فإن
دالة ثابتة
على

 هذه المبرهنة تبقى صحيحة حتى ولو انعدمت

  من أجل قيم معزولة

2 تعريف الدالة الرتيبة تماما على مجال
تعريف

إذا كانت

إما متزايدة تماما إما  متناقصة تماما على المجال
نقول أن
رتيبة تماما على المجال
 

الدالة

المعرفة ب :(  
)تقبل الاشتقاق على  
 و دالتها المشتقة هي
  حيث  

 

لندرس إشارة الدالة  


 يعنى  
يعنى  
يعنى

يعنى
 يعنى
 يعنى

يعنى
 يعنى
 يعنى

على المجال :  

  الدالة  
 موجبة تماما(حتى و لو انعدمت من أجل  
 )منه الدالة متزايدة تماماعلى   
 

على المجال  

 : الدالة   
  سالبة تماما(حتى و لو انعدمت من أجل  
  ) منه الدالة  متناقصة تماما على  

نلخص هذه النتائج في جدول يدعى جدول تغيرات الدالة 

 

 الدالة

 رتيبة على المجال  
   ورتيبة على المجال  
  و لكن  ليست رتيبة على   
 

3 القيم الحدية المحلية

 

دالة قابلة للاشتقاق على المجال
من
 و  دالتها المشتقة

نقول أن الدالة

 تقبل قيمة حدية محلية على المجال
 إذا وجد عدد حقيقي
من المجال
تنعدم عنده الدالة المشتقة  
مغيرتا إشارتهاوفي هذه الحالةالعدد  
هي القيمة الحدية المحلية للدالة  

 الدالة  معرفة على
ب :
  لندرس اتجاه تغيراتها و لهذا نبحث عن دالتها المشتقة  

منه 

  

   

قمة حدية محلية للدالة
على المجال   
 لأن
تنعدم عند 0 مغيرتا اشارتها

     

قمة حدية محلية للدالة
على المجال  
  لأن  
تنعدم عند 2 مغيرتا اشارتها

  • إختبارات
  • 20
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • Guerrachr Ramdane
  • 200 نقطة
  • BouShra Merzougui
  • 157 نقطة
  • roumayssa hafdallah
  • 0 نقطة
  • أمين سعياد
  • -3 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.