iMadrassa

المعادلات و المتراجحات من الدرجة الثانية

I المعادلة من الدرجة الثانية

نسمي معادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول الحقيقي

 كل معادلة من الشكل
 علما أن  
؛ 
 و
   أعداد حقيقية مع

1 تذكير ببعض قواعد الحساب في $$\mathbb{R}$$

من أجل كل عدد حقيقي  

 و  
  لدينا :

إذاكان 

  فإن  
أو
 

  •  

 

 

2 الشكل النموذجي لثلاثي الحدود

 ,  
 
 ,  و
 
  أعداد حقيقية مع  

●  نسمي مميز الثلاثي حدود

 العدد الحقيقي
 حيث  

●و نسمي الشكل النموذجي لثلاثي حدود

  العبارة:

بما أن

فإن يمكن استخراجه و   كعامل مشترك  


و بما أن  


 

   منه 


 

  و منه

 

 

 

نعلم أن  

  منه : الشكل النموذجي لثلاثي حدود  
هو

 
 

ما هو الشكل النموذجي ل

في كل حالة من الحالات التالية

 

 منه

 و    
 و    

لنحسب

  ، بالتعويض نجد  
و

  

و منه 

 

2)   

منه
   و
     و  

لنحسب

 ، بالتعويض نجد
  و

 

  

   و منه


 

3)

  منه
  و  
    و

لنحسب

، بالتعويض نجد
و

 

و منه

 

3 المعادلات من الدرجة الثانية

  ؛ 
 و 
 أعداد حقيقية   و ليكن  مميز  الثلاثي حدود

●إذا كان

   سالب تماما فإن المعادلة 
لا تقبل حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية 
 

●إذا كان

 معدوم فإن المعادلة 
 تقبل حلا مضاعفا في  مجموعة الأعداد الحقيقية
  و هو
و  

 

●إذا كان Δ    موجب تماما  فإن المعادلة 

 تقبل حلين مختلفين في  مجموعة الأعداد الحقيقية  
  و هما
   و
 و 

حل في كل حالة من الحالات التالية المعادلة 

1)  

 منه

لنحسب

،    ، بالتعويض نجد
وبما أن
موجب تماما المعادلة  تقبل حلين مختلفين هما :
 
   و

    و هما  

 

       و     
    

 

  و منه

   و     
  و يمكن تحليل
كما يلي

 

 

   و بالتعويض نجد

 

و منه

 

--------------------------------------

2)

 منه

لنحسب    

  ، بالتعويض نجد         
   وبما أن معدوم المعادلة  تقبل حلانمتساويان هما :  
  أ و حلا مضاعفا هو  

وهو    
 و هو    
 

 

و يمكن تحليل    

كما يلي    

 

 و بالتعويض نجد   

 

-----------------------

 

3)

 منه  

 

لنحسب  

، بالتعويض نجد      
   وبما أن سالب تماما فإن المعادلة  

 

 لا تقبل حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية و

لا يقبل تحليلا

----------------------------------------

 

نعلم أن :    

 

●  إذا كن    

: فإن  
  و بما أن    
  لأنه مربع لعدد حقيقي  منه

 

 

 و بما أن
  فإن المعادلة    
  لا تقبل حلول في

و

  لا يقبل التحليل

●  إذا كن   

: فإن  
 منه  

 

  و منه  

 

تكافئ  

 تكافئ  
  أو  

 

و بما أن  

  فإن  
 و منه   

 

معناه أن المعادلة  

 تقبل حلا مضاعفا و هو  
 و في هذه الحالة يمكن كتابة

 

 

 و منه  

 

ملاحظة: يمكن استبدال الجملة "حلا مضاعفا

 " ب " حالين متساويين هما  "  

 

 

●  إذا كن  

 : فإن  
 منه   

 

 

تصبح   

 

   ومنه    

 

يمكن تحليل الطرف الثاني و سنجد  

 

 

 و منه      

   و منه

  

 

  و منه      

    تكافئ      
 

 

  تكافئ  

 

 أو    

    أو  

 

و بما أن  

  فإن  

 

  إما  

 و منه  

                           إما      

  و منه    

 

ومنه المعادلة   

   تقبل حالين متمايزين هما    

 

  و  

 

و بالتعويض في  نجد       

 

  لحل المعادلة من الدرجة الثانية  

 مع  
   

نتبع المخطط التالي

4 مجموع و جداء حلي المعادلة من الدرجة الثانية

إذا كان

  فإن المعادلة 
 حيث  
تقبل حلين متساوين أو مختلفين
 و
 حيث
​    و 

نضع  

    و 


 

المرحلة 1

نعلم أن إذا كان  

  معدوم فإن المعادلة
 
  حيث
تقبل حلا مضاعفا أو حلين متساويين في  مجموعة الأعداد الحقيقية
  و هو 

   

المرحلة 2

أ - 

 

ب -

المرحلة3

 معناه
   منه    

المرحلة 4

نعوض  

 في(ب) نجد:  

 

المرحلة 5

  نعيد نفس العمل لما يكون

 موجب تماما  

  المعادلة 

  تقبل حلين مختلفين في  مجموعة الأعداد الحقيقية  
و هما   

   و 

المرحلة6

 

 

 

 

 

 

لنعتبر المعادلة  

 

لنفرض أن     

 منه يوجد حلين      
  منه  
 و  
 لنضع     
 و  
 المعادلة  
 تكافئ  
 لان     
     

        

بما أن     

   منه  
   

إذن    

  

منه      

      
 
 

 

5 المتراجحة من الدرجة الثانية

نسمي متراجحة من الدرجة الثانية ذات المجهول الحقيقي

 كل معادلة يمكن كتابتها على  الشكل 

 أو  

  علما أن
 ؛ 
 و
   أعداد حقيقية مع  

 

 

6 إشارة ثلاثي حدود من الدرجة الثانية

؛
  و
   أعداد حقيقية مع
 و ليكن  
 مميز  الثلاثي حدود 

●إذا كان

 سالب تماما فإن الثلاثي حدود  
  ليس له جذور في مجموعة الأعداد الحقيقية  
و يأخذ إشارة
 على المجال     
  

 

●إذا كان

 معدوم فإن الثلاثي حدود  
 له جذرا مضاعفا في  مجموعة الأعداد الحقيقية  
   و هو  
 و يأخذ إشارة
 على المجال   
 

 

●إذا كان

     موجب تماما  فإن الثلاثي حدود  
 له جذران مختلفان في  مجموعة الأعداد الحقيقية   
  و هما   

و   
 و إذا فرضنا أن
  فإنه يأخذ إشارة  
على المجال  

  

 و يأخذ إشارة  
على المجال     
 
  

 

:في كل حالة من الحالات التالية ادرس إشارة    ثم حل المتراجحة

1)  

 منه  
و
 و

وبما أن

موجب تماما المعادلة
 تقبل حلين مختلفين هما 

 و

و منه  

يأخذ إشارة
معناه سيكون موجب تماما على المجال  
     

و  يأخذ إشارة

معناه سيكون سلب تماما على المجال  

حل المتراجحة

   معناه إيجاد المجالات التي سيكون فيها
سالب تماما

حسب جدول إشارة  

 هذا المجال هو  
  و منه مجموعة حلول المتراجحة
  هي S  حيث    
= S

 

 

-------------------------------------------

2)  

  منه 
و  
و  

وبما أن

معدوم المعادلة
 تقبل حلا مضاعفا  هو  

كما جاء في المبرهنة    

يأخذ إشارة
على المجال     
  معناه أن :

سلب تماما  على المجال   

 

حل المتراجحة  

معناه إيجاد المجالات التي سيكون فيها
سالب تماما

حسب جدول إشارة  

هذا المجال هو    
   و منه مجموعة حلول المتراجحة   

 هي S  حيث       

 

 

-------------------------------------------------------------------------------

3)  

 

 

  ;  
    ,    
 منه 

وبما أن

سالب تماما فإن المعادلة  لا تقبل حلول في مجموعة الأعداد الحقيقيةو
يأخذ إشارة  
على المجال  
 معناه أن
موجب تماما على المجال 

 

حل المتراجحة  

معناه إيجاد المجالات التي سيكون فيها
سالب تماما

حسب جدول إشارة لا توجد قيم في المجال  

تجعل  سالب تماماو منه مجموعة حلول المتراجحة  هيS  حيث   

----------------------------------------------------------------

نعلم أن :    

 

●  إذا كن    

: فإن  
  و بما أن    
  لأنه مربع لعدد حقيقي  منه

 

 

 و بما أن
  فإن المعادلة    
  لا تقبل حلول في

 

و هذا معناه أن الثلاثي حدود    

  لا ينعدم على
  و هذا معناه أن ليس له جذور في

و بما أن    

  فإن   
     تأخذ إشارة  
على

 و منه الثلاثي حدود      
يأخذ إشارة
على    

 

●  إذا كن    

 :

المعادلة    

تقبل حلا مضاعفا و هو
  معناه انالثلاثي حدود  

 ينعدم مرة واحدة وهي لما  

 و هذا معناه أن له جذرا واحدا و هو  
 

و في هذه الحالة يمكن كتابة  

  

على المجال    

  لأنه مربع و   لأن
   و منه   

 تأخذ إشارة  

و منه الثلاثي حدود  
 يأخذ إشارة  

 

 

●  إذا كن

  :

المعادلة  تقبل حالين متمايزين هما    

  و    
 

معناه أن الثلاثي حدود    

  ينعدم عند 
 و  
  و منه الثلاثي حدود  
 

 له جذران مختلفان هما     

  و   
 

كما نعلم أن:  

  وإذا فرضنا أن  
  نحصل على 

 

على المجال :      

     لدينا  
منه  

تأخذ إشارة  

ومنه الثلاثي حدود  
يأخذ إشارة

على المجال :

لدينا  
 منه  

تأخذ إشارة

و منه الثلاثي حدود  يأخذ إشارة

 

 

  • إختبارات
  • 20
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • Queen W
  • 180 نقطة
  • رانيا بوشيوان
  • 177 نقطة
  • Nesrine Berrichi
  • 177 نقطة
  • Nia Ra
  • 172 نقطة
  • ziad azb
  • 154 نقطة
  • لطفي 1
  • 154 نقطة
  • billel guetouchi
  • 154 نقطة
  • Hya Ana
  • 139 نقطة
  • Rym Ben gherab
  • 134 نقطة
  • Yassine Abibssi
  • 132 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.