iMadrassa

النهايات

I مفهوم النهاية
1 نهاية منتهية لدالة عند $$x_0$$

نعتبر الدالة  

 المعرفة ب:   

بما أن الدالة  

 غير معرفة عند 0 ،نريد أن نعرف ما هو سلوك العدد  
 لما المتغير  
  يؤول ( تقترب جدا حتى يكاد أن ينطبق من ) 0 ، و لهذا يطلب 

  1. أكمل الجدول التالي  ثم مثل الدالة   
     على المجال  

 

  1.  ماهو سلوك العدد  
      لما 
      يؤول  إلى 0 بقيم صغرى ؟
  2.  ماهو سلوك العدد  
      لما 
      يؤول إلى 0 بقيم كبرى ؟ 

1) 

  1. نلاحظ أن لما  
     يؤول إلى 0 بقيم صغرى(من الجهة اليسرى) العدد
      يؤول إلى 1 
  2. لما 
     يؤول إلى 0 بقيم كبرى العدد 
     يؤول إلى 1

في هذا المثال نلاحظ أن لما

 يؤول إلى 0 بقيم كبرى أو صغرى العدد
  يؤول إلى 1

معناه أن : لما   

 فإن   
  و نكتب:  

ونسمى العدد 1 النهاية المنتهية  للدالة  عند 0

2 نهاية غير منتهية لدالة عند $$x_0$$

نعتبر الدال

 المعرفة ب:   
 

بما أن  

غير معرفة عند 0 ،نريد أن نعرف ما هو سلوك العدد
 لما المتغير
  يؤول ( تقترب جدا حتى يكاد أن ينطبق من ) 0 ، و لهذا يطلب

  1.   أكمل الجداول   ثم مثل الدالة 
    على المجال 
  2.   ما هو سلوك العدد
    لما 
     يؤول  إلى  
     بقيم صغرى ؟ 
  3.   ما هو سلوك العدد
    لما
    يؤول إلى 
    بقيم كبرى ؟

  • نلاحظ أن لما  
    يؤول إلى 
    بقيم صغرى العدد  
    يأخذ قيم كبيرة جدا وفي تزايد مستمر
  • لما 
    يؤول إلى 
    بقيم كبرى العدد   
    يأخذ قيم كبيرة جدا وفي تزايد مستمر كما تظهره الوثيقة  الموالية التي  تحتوي على المنحني الممثل للدالة  

 

في هذا المثال نلاحظ أن لما 

 يؤول إلى  
 بقيم كبرى أو صغرى العدد  
 يوول إلى  
 

معناه أن : لما 

فإن
و نكتب: 

ونقول أن الدالة 

لها نهاية غير منتهية عند 

3 تعاريف

  

دالة ،
و
عددان حقيقيان .

التعريف 1

نقول أن: (نهاية الدالة 

عند
هي
إذا و فقط إذا

 من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما 

،يوجد على الأقل عدد حقيقي موجب تماما 
حيث:

إذا كان 

  فإن 

وفي هذه الحالة نكتب :

التعريف 2

نقول أن: (نهاية الدالة 

عند
هي
إذا و فقط إذا 

 من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما 

، يوجد على الأقل عدد حقيقي موجب تماما 
حيث:

إذا كان 

فإن

وفي هذه الحالة نكتب :

التعريف 3

نقول أن: (نهاية الدالة 

عند
 هي
) إذا و فقط إذا

 من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما 

، يوجد على الأقل عدد حقيقي موجب تماما 
حيث:

إذا كان  

فإن

وفي هذه الحالة نكتب :

 

التعريف 4

نقول أن: (نهاية الدالة 

عند
 هي
) إذا و فقط إذا

 من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما 

، يوجد على الأقل عدد حقيقي موجب تماما 
حيث:

إذا كان  

فإن

وفي هذه الحالة نكتب :

 

التعريف 5

نقول أن: (نهاية الدالة 

عند
 هي
) إذا و فقط إذا

 من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما 

، يوجد على الأقل عدد حقيقي موجب تماما 
حيث:

إذا كان  

فإن

وفي هذه الحالة نكتب :

 

التعريف 6

نقول أن: (نهاية الدالة 

عند
 هي
) إذا و فقط إذا

 من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما 

، يوجد على الأقل عدد حقيقي موجب تماما 
حيث:

إذا كان 

فإن

وفي هذه الحالة نكتب :

 

التعريف 7

نقول أن: (نهاية الدالة 

عند
 هي
) إذا و فقط إذا

 من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما 

، يوجد على الأقل عدد حقيقي موجب تماما 
حيث:

إذا كان 

فإن

وفي هذه الحالة نكتب :

 

----------------------------------------------------------

بنفس الطريقة يمكن أن نجد التعاريف المتبقية كا مثلا: 

أو  

   أو
.

 

4 النهايات الأساسية

إليك النهايات التالية التي ستكون أساس حساب النهايات والتي  يمكن أن نبرهن عن صحتها باستعمال التعاريف السابقة

 و
 عددان حقيقيان ثابتان و
 متغير حقيقي

   

  ؛      
;        

   ;    
      ;    

II عمليات على النهايات
1 ننهاية مجموع دالتين

 

  و
و
أعداد حقيقية 

ح ع ت تدعى حالة عدم التعيين ، في هذا النوع من الحالات النهاية ستوجد بطرق أخرى سنراها خلال الدرس

2 نهاية جداء دالتين

و
عددان حقيقيان غير معدومان و
عدد حقيقيان كيفيان

3 نهاية حاصل قسمة دالتين

و
عددان حقيقيان غير معدومان و
عدد حقيقي كيفي

في الحالات الأخرى نحول القسمة إلى الضرب بالمقلوب و نستعمل جدول الضرب أو جدول القسمة

4 نهاية الدالة المركبة $$ ( x \rightarrow \sqrt{ f(x) }) $$

كل هذه  الجداول تبقى كما هي لما

  و لما  

III نهايات الدوال المألوفة

إذا كانت الدالة

قابلة للاشتقاق عند
فإن

            يمكن تطبيق هذه المبرهنة على كل الدوال المرجعية و على الدوال كثيرات الحدود .

أ نهاية ثنائي الحد

     

     مع     

   

 لأن الدالة التآلفية قابلة للاشتقاق عند
وهذا مهما كانت قيمته

إذا كان  

 

 

إذا كان   

 

 

إذا كان

عدد حقيقي موجب تماما

          1)  

 و  
  منه طبقا لجدول

          الضرب

 

     

 منه            

       طبقا لجدول الجمع

                                                           

         2)    

    ;  
   ;    

و منه طبقا لجدول الضرب   

 ; 

منه  طبقا لجدول الجمع

ب نهايات الدالة "مربع"

    

  

   

  1.     
          منه  
     طبقا لجدول الضرب
  2.     
      منه  
      طبقا لجدول الضرب
ت نهايات الدالة "مقلوب"

عدد حقيقي غير معدوم

 

  و 

و  

1)  

 و
  منه    
  طبقا لجدول حاصل قسمة دالتين

2)

  و      
 منه   
  طبقا لجدول حاصل قسمة دالتين

3)

 و
 منه  
  طبقا لجدول حاصل قسمة

ث نهايات الدالة "جذر تربيعي"

عدد حقيقي موجب 

 

 

  منه
طبقا لجدول الجذر التربيعي

ج نهايات كثير حدود

      

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 حسب جدول حاصل القسمة و جدول الضرب 

 

 و   
و  
  منه

 

 

 

  منه

 طبقا لجدول الضرب

و بنفس الطريقة يمكن أن نثبت أن  

 

 

ح نهايات دالة ناطقة

 

 

 و لتكن الدالة الناطقة  

حيث

بتطبيق قواعد الحساب على النهايات نجد

 

 

 و لتكن الدالة الناطقة  

حيث

بتطبيق قواعد الحساب على النهايات نجد

لإيجاد

 نحسب
و نحسب 

ثم نستعمل جدول حاصل قسمة دالتين

 

لنحسب  

 

 

 

 

 

منه                                                  

 

 

 

    لنحسب 

 

                         
   

 

 

منه 

في هذه المرحلة نميز بين الحالتين

- ندرس إشارة المقام (  

)

لما

  المقام  

لأن على المجال
 العبارة (
) موجبة 

و بالتالي نكتب   منه 

 

 

 منه      

 

 

لما  

 

       المقام (
) لأن على المجال
 العبارة (  
) سالبة

                                                                 

و بالتالي نكتب 

منه

   

 

لنحسب 

 

 

 

 

 

 

و بما أن :  

و 
    فإن

 

 

 

و بما أن :

 و  
  فإن  

 

   

 

 

 و منه   

و منه نهاية دالة ناطقة لما

هينهاية حاصل قسمة الوحيدات التي لها أعلى درجة  ثم نواصل

 

 منه 

 

و بنفس الطريقة يمكن أن نثبت أن :

 

 

 

 

 

IV السلوك ألتقاربي لمنحنى
1 المستقيم المقارب الموازي لحامل محور التراتيب

دالة و
  تمثيلها البياني في المستوي 

 إذا كانت

 فإن المنحنى
الممثل للدالة
 
 يقبل مستقيم مقاربا موازيا لحامل محور التراتيب معادلته 

 

 

 

 

دالةمعرفة  على
   ب
 و
 تمثيلها البياني في المستوي

   

            في المثال السابق وجدنا

 

  منه المنحنى

 يقبل مستقيم مقارب  
موازي لحامل محور التراتيب معادلته

 

    لو نحسب  

  منه المنحنى

يقبل مستقيم مقارب
موازي لحامل محور التراتيب معادلته

                  بوسائل الرسم نحصل على 

 

نلاحظ أن المنحنى  يقترب من المستقيمات المقاربة بجوار

  و
 

2 المستقيم المقارب الموازي لحامل محور الفواصل

                 

دالة و
 تمثيلها البياني في المستوي ،
عدد حقيقي    

إذا كانت

 أو 
فإن المنحنى 
 الممثل للدالة   يقبل مستقيم مقاربا موازيا لحامل محور الفواصل  معادلته 

 

دالةمعرفة على
ب
 و
تمثيلها البياني في المستوي

منه    
              

    

    منه المنحنى

 يقبل مستقيم مقارب
 موازي لحامل محور الفواصل معادلته

 

منه

   

     منه المنحنى

يقبل مستقيم مقارب
موازي لحامل محور الفواصل معادلته 

نلاحظ أن المنحنى  

يقترب من المستقيم  
المقارب  بجوار
 و بجوار  

3 المستقيم المقارب المائل

fدالة و

تمثيلها البياني في المستوي ،(∆) مستقيم معادلته (y=ax+b) مع (a≠0)

 

نقول أن المستقيم ذو المعادلة  

هو  مستقيم مقارب مائل للمنحنى
الممثل للدالة
 إذا و فقط إذا كان :

 أو  

 

دالةمعرفة على  
 ب
 و
تمثيلها البياني في المستوي

بالقسمة الإقليدية أو بالمطابقة يمكن أن نكتب

 على الشكل 
   

  منه   

منه    

و منه

 المنحنى

يقبل مستقيم مقارب مائل
بجوار  
 معادلته
 

 

  منه 

منه  

 

  منه المنحنى

يقبل مستقيم مقارب
مائل  بجوار
 معادلته
 

 

منه الاقتراب من المستقيم المائل

سيكون من الجهتين: بجوار
 و بجوار
 كما تبينه الوثيقة الموالية 

  • إختبارات
  • 20
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • Queen W
  • 240 نقطة
  • amine sekhri
  • 220 نقطة
  • THIZIRI HMD
  • 220 نقطة
  • Hasna Rayma
  • 200 نقطة
  • abdou maghni
  • 200 نقطة
  • Oussem Khalfaoui
  • 200 نقطة
  • Mina Thiziri
  • 200 نقطة
  • ريان دحمان
  • 200 نقطة
  • Abdellatif Arbaoui
  • 177 نقطة
  • maissa yamanda
  • 177 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.