iMadrassa

المتتاليات العددية

I عموميات على المتتاليات العددية

 عدد طبيعي معطى،  عدد طبيعي حيث

نسمي متتالية عددية كل دالة

 حيث
عدد حقيقي

نرمز إلى العدد

 ب:
و يدعى الحد العام للمتتالية
و نسمي
دليل الحد

نرمز إلى المتتالية

ب:  
 و
هو حدها الأول

المثال الأول

الدالة

 بما أنها معرفة على كل مجموعة الأعداد الطبيعية  
 تعتبر متتالية عددية سنرمز إليها ب الرمز:

حدها العام هو

حيث    

    و حدها الأول هو  

بالتعويض في قانون الحد العام سنجد 

في هذا دليل الحد ليس رتبة الحد

الحد التاسع لهذه المتتالية ليس

  بل هو
 و قيمته توجد بتعويض  ب:8 منه

 

المثال الثاني

الدالة

 بما أنها معرفة على كل مجموعة الأعداد الطبيعية  

 تعتبر متتالية عددية سنرمز إليها ب الرمز:

حدها العام هو

حيث
 و حدها الأول هو

بالتعويض في قانون الحد العام سنجد

 

في هذا المثال الدليل هو رتبة الحد

و منه الحد التاسع لهذه المتتالية هو

  و قيمته توجد بتعويض
ب:9 في قانون الحد العام

 نجد 

المثال الثالث

 لتكن الدالة 

 

لكي تكون الدالة  

معرفة ينبغي أن يكون 
 معناه  
معناه

 تعتبر متتالية عددية سنرمز إليها ب الرمز:

 

حدها العام هو

   حيث  و حدها الأول هو

بالتعويض في قانون الحد العام سنجد

 

الحد التاسع هو 

1 طرق توليد (أو تعريف) متتالية عددية
أ التوليد بالحد العام

يمكن إن نجد قيمة حدود المتتالية باستعمال  حدها العام و لإيجاد الحد

يكفي أن نعوض
 ب
في قانون الحد العام كما رأينا ذالك في الأمثلة السابقة

           :        وفي هذه الحالة يمكن التعبير عن الحد العام    

  بالدالة
    
و نضع

 

ب التوليد بعلاقة تراجعية

دالة حيث من أجل كل عدد
من مجموعة تعريفها
: ينتمي إلى

يمكن تعريف المتتالية بإعطاء حدها الأول

وعلاقة من الشكل

في هذه الحالة نقول أن المتتالية العددية متتالية تراجعية  و نسمي الدالة fالدالة المرفقة بالمتتالية 

 لتكن المتتالية

التي حدها الأول هو  
و من أجل كل عدد طبيعي
 :

 

العلاقة التراجعية

تربط بصفة عامة بين الحدين المتتابعين
و

إذا عرفنا قيمة

يمكن أن نعوض و نجد الحد الذي يأتي بعده

بما أننا نعرف قيمة

يمكن أن نجد الحد الذي يتبعه
بالعلاقة
و منه 

بما أن

يمكن أن نجد الحد الذي يتبعه
بالعلاقة
و منه

 

بما أن

يمكن أن نجد الحد الذي يتبعه
بالعلاقة
و منه

 

نواصل بهذه الكيفية وسنجد كل حدود هذه المتتالية

لإيجاد الحد العشرون

 نحتاج إلى الحد الذي قبله
و لإيجاد
نحتاج إلى الحد الذي قبله
إلى أخره

معناه لكي نجد الحد

ينبغي أن نجد  كل الحدود التي هي قبله :        

 

 

هذا العمل شاق و يتطلب وقت و لهذا أحسن طريقة لتوليد متتالية عددية هي التوليد بالحد العام

 

الدالة المرفقة بالمتتالية  

هي
حيث
لأن

2 التمثيل البياني لمتتالية عددية

 إذا عرفت المتتالية

 بحدها العام كما يلي
 فإن التمثيل البياني للمتتالية
 يتكون من النقط 

التمثيل البياني للمتتالية

 حيث  هو 

● إذا عرفت المتتالية

بعلاقة تراجعية  كما يلي
 فإن التمثيل البياني للمتتالية يتكون من النقط 

مثال : التمثيل البياني للمتتالية

التي حدها الأول هو

 و من أجل كل عدد طبيعي

     

                هو     
  

       بالحاسبة نجد :  

 

منه : 

بينما الدالة المرفقة للمتتالية

هي
 حيث 
 و تمثيلها البياني  
كما تظهره الوثيقة الموالية

 

3 اتجاه تغير متتالية عددية

عدد طبيعي معطى ،
 متتالية عددية

 

 متزايدة تماما إبتداءا من الرتبة
 إذا و فقط إذا كان
من أجل كل عدد طبيعي
حيث

 

متزايدة تماما إبتداءا من الرتبة
 إذا و فقط إذا كان
من أجل كل عدد طبيعي 
حيث

 

متناقصة  تماما إبتداءا من الرتبة   إذا و فقط إذا كان
من أجل كل عدد طبيعي
حيث

 

 متناقصة  تماما إبتداءا من الرتبة  إذا و فقط إذا كان  
من أجل كل عدد طبيعي حيث

 

 ثابتة  إبتداءا من الرتبة
 إذا و فقط إذا كان
من أجل كل عدد طبيعي حيث

 

  ثابتة إبتداءا من الرتبة  إذا و فقط إذا كان  
من أجل كل عدد طبيعي حيث

 

المثال الأول

 متتالية عددية معرفة بحدها العام
حيث

 

منه

منه  من أجل كل عدد طبيعي

:
 منه  
متتالية متناقصة تماما و هذا إبتداءا من الحد الأول

المثال الثاني :

 متتالية عددية معرفة بحدها العام
حيث

 

منه

 

و بما أن

  تكافئ
 منه  
إبتداءا من

منه المتتالية

 متزايدة تماما إبتداءا من
و هو الحد السادس من هذه المتتالية

و

 متناقصة تماما من الحد الأول
 حتى الحد الخامس

و منه المتتالية  ليست رتيبة

 

---------------------------------------------------------------------

4 المتتالية المتقاربة

عدد حقيقي و  
متتالية عددية

و نقول أن

 
  ● 

  إذا و فقط إذا (   من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما 
، يوجد عدد

طبيعي

  حيث : من أجل كل عدد طبيعي
،إذا كان   
فإن  
  )

 

●إ 

ذا و فقط إذا (  من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما
 ، يوجد عدد

طبيعي

  حيث : من  أجل كل عدد طبيعي
،إذا كان 
  فإن 
)

 

●   

إذا و فقط إذا (  من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما
 ، يوجد عدد 

طبيعي

  حيث :  من  أجل كل عدد طبيعي
،إذا كان 
  فإن   
)

بعض المتتاليات ليس لها نهاية لما    

المتتالية  

حيث
  ليس لها نهاية لأن حدودها متناوبة (تتغير إشارتها من حد إلى الحد الموالي ) و بالتالي لا نستطيع القول أن  
     و لا القول    
       

نقول أن:

● المتتالية  

متقاربة إذا و فقط إذا   

● المتتالية  

متباعدة  إذا و فقط إذا   

                          أو  

أو   ( 
ليس له نهاية لما
  )

5 نهاية متتالية عددية مرفقة بدالة

  

  متتالية عددية و
  الدالة المرفقة لها و هذا معناه  

● إذا كانت  

  فإن  
و منه  متتالية متقاربة

● إذا كانت  

فإن 
و منهمتتالية متباعدة

● إذا كانت  

  فإن
  و منهمتتالية متباعدة

1) لتكن 

  متتالية عددية حيث من أجل كل عدد حقيقي
  :   

 

الدالة

  المرفقة لها معرفة على
  ب: 

 

 

لأن     

 

منه  

و منه  
  متتالية متقاربة

2 ) لتكن  

متتالية عددية معرفة بحدها العام  
حيث

الدالة

المرفقة لها معرفة على
   ب: 

 

 

لأن  
 

منه 

  و منه 
    متتالية  متباعدة

6 الحصر في حساب نهاية متتالية عددية

1)   

متتالية عددية حيث  
،الوثيقة الموالية تظهر المنحنى
الممثل للدالة
المرفقة بهذه المتتالية

نلاحظ أن  

منه 

نعلم أن من أجل كل عدد حقيقي  

 منه من أجل كل عدد طبيعي   حيث 

 


 ؛ و بما أن  
فإن  

منه  

 

و بما أن   

و  
  فإن 
منه 
منه 
المتتالية  متقاربة

2)  

متتالية عددية حيث 
  ؛الوثيقة التالية تظهر تمثيلها البياني

 لما 

العدد  

  نعلم أن من أجل كل عدد حقيقي

 منه من أجل كل عدد طبيعي

 منه    

و بما أن   

فإن 

منه   

  منه  
  المتتالية متباعدة 

II المتتاليات الحسابية

 :  متتالية عددية حدها الأول
و
عدد حقيقي

(

متتالية حسابية أساسها  
) إذا و فقط إذا

( من أجل كل عدد طبيعي

  حيث :
)

1)  المتتالية  

حيث
 متتالية حسابية لأن:

 

 منه

منه  من أجل كل عدد طبيعي

:  منه
     ;  
    متتالية حسابية  حدها الأول

2) المتتالية  

 متتالية حسابية أساسها 3 و حدها الأول 1

1 اتجاه تغير المتتالية الحسابية

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
منه 

● ( المتتالية الحسابية التي أساسها

متزايدة تماما) إذا و فقط إذا

 كان

● ( المتتالية الحسابية التي أساسها

متناقصة  تماما) إذا و فقط إذا

كان

● ( المتتالية الحسابية التي أساسها

ثابتة ) إذا و فقط إذا ( كان
)

2 الحد العام لمتتالية حسابية

● إذا كانت

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام هو   

 

● إذا كانت

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام هو      

 

● إذا كانت

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام:                  

 

3 نهاية متتالية حسابية

إذا كانت    

متتالية حسابية حدها الأول 
و أساسها
فإن حدها العام:

 

منه 
و   بالتالي
  ثنائي الحد من الدرجة الأولى  بالنسبة للمتغير  
و منه  

●  إذا كان 

  فإن 
و منه المتتالية الحسابية  
متباعدة

● إذا كان 

  فإنو
  منه المتتالية  الحسابية   
متباعدة

● إذا كان  

فإنو  
منه 

و منه المتتالية الحسابية    

  متقاربة                                                                                               

مجموع لبعض الحدود المتتابعة لمتتالية حسابية

● إذا كانت

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
فإن  المجموع
حيث  

● إذا كانت

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
فإن المجموع
حيث

-----------------------------------------------------------

نلاحظ أن في كل مرة المجموع

  يساوي

4 الوسط الحسابي

 

;
;
   أعداد حقيقية

;
;
على هذا الترتيب  حدود متتابعة من متتالية حسابية ) إذا و فقط إذا 

و نسميا 

لوسط الهندسي للعددين 
  و

 

● إذا (  

;
;
  على هذا الترتيب  حدود متتابعة من متتالية حسابية )

لدينا   

  منه.
.........(1)

لدينا  

..............................(2)

من (1) و (2) نستنتج أن 

● إذا كان 

  فإن  
  منه

نضع  

  منه 
و
 ومنه ( 
;
;
على هذا الترتيب  حدود متتابعة من متتالية حسابية )

III المتتاليات الهندسية

 متتالية عددية حدها الأول
    و
  عدد حقيقي

(

 متتالية هندسية   أساسها  
) إذا و فقط إذا

( من أجل كل عدد طبيعي

  حيث :
)

1)  

متتالية  حيث

  •   متتالية هندسية  لأن:

 

منه   
  منه  من أجل كل عدد طبيعي
:    

   منه

   متتالية هندسية   حدها الأول

2) المتتالية

:  متتالية هندسية  أساسها 4 و حدها الأول 1

1 الحد العام لمتتالية هندسية

● إذا كانت

متتالية هندسية  حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام هو

 

● إذا كانت متتالية هندسية 

حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام هو

● إذا كانت متتالية هندسية 

حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام:

نهاية متتالية هندسية

   

عدد حقيقي غير معدوم و يختلف عن 1

●   إذا كان

   فإن  

●   إذا كان   

فإن 

●  إذا كان 

فإن العدد 
 ليس له نهاية (لأن تتغير إشارته من رتبة إلى أخرى و نقول   أنه متناوب)

 

نحسب نهاية الحد العام للمتتالية الهندسية ثم نحكم عن تقرب أو تباعد هذه  المتتالية

2 مجموع لبعض الحدود المتتابعة لمتتالية هندسية

● إذا كانت

 متتالية هندسية  حدها الأول
و أساسها
 فإن

 المجموع

حيث :

- لما  

 

 

-  لما :

 

 

 

● إذا كانت

 

متتالية هندسية  حدها الأول

و أساسها
فإن

المجموع

حيث                    

 

- لما

 

 

-  لما :

 

 

نلاحظ أن المجموع 

يساوي في كل مرة :

- لما   

3 الوسط الهندسي

 

أعداد حقيقية غير معدومة

على هذا الترتيب  حدود متتابعة من متتالية هندسية ) إذا و فقط إذا 

                   و نسمي 

الوسط الهندسي للعددين
  و

1) إذا كانت (

   على هذا الترتيب  حدود متتابعة من متتالية هندسية )

لدينا  

  منه  
  .........(1)

لدينا   

.........................(2)

من (1)  و (2) نستنتج أن   

  منه   

2) إذا كان  

  تكافئ  
نضع  
  منه  
  و  

  و منه (

   على هذا الترتيب  حدود متتابعة من متتالية هندسية )

 

  • إختبارات
  • 20
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • MALAK DASS AMIOUR
  • 220 نقطة
  • THIZIRI HMD
  • 200 نقطة
  • عبدالله فاسي
  • 177 نقطة
  • riad bendellali
  • 177 نقطة
  • Ze Ouafa
  • 157 نقطة
  • rania bechani
  • 140 نقطة
  • هاني سرير
  • 138 نقطة
  • youyou sell
  • 133 نقطة
  • ss ja
  • 132 نقطة
  • Sra Yøu
  • 132 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.