iMadrassa

الدوال اللوغارتمية

من أجل كل عدد طبيعي

نعتبر الدالة
المعرّفة على المجال
كما يلي: 

- بما أن الدالة  

مستمرة على

 فهي تقبل دوال أصلية على المجال
و هي الدوال
حيث  
حيث  
و هي النتيجة المحصل عليها في درس الدوال الأصلية.

- لكن لا يمكن استعمال هذه النتيجة لحساب الدالة الأصلية للدالة  

لأن
و بالتالي
(لا يمكن حساب المقام) .

- من جهة أخرى نعلم أن الدالة

حيث
هي دالة مستمرة على المجال
فهي إذن تقبل دوال أصلية على هذا المجال. و تقبل بصفة خاصة دالة أصلية وحيدة تنعدم من أجل

 نسمي الدالة الأصلية للدالة

و التي تنعدم عند
دالة اللوغاريتم النيبيري و نرمز لها بالرمز

I دالة اللوغاريتم النيبيري

 نسمي الدالة اللوغاريتم النيبيري و التي نرمز لها بالرمز

الدالة الأصلية للدالة:
على المجال
و التي تنعدم عند
.

نتائج من التعريف

- من التعريف لدينا:

- الدالة "

"قابلة للإشتقاق على
و من أجل كل
من المجال
:  
 

- من اجل كل  

من
:

 منه الدالة
متزايدة تماما على

نستنتج الخواص التالية:   من أجل كل عددين حقيقيين

و
من

الإشارة

 حل في

المعادلة:
و المتراجحة
 

 

 

يعني
منه

يعني  

منه  

 إذن

II الخواص الجبرية للدالة
الخاصية الأساسية 1

من أجل كل عددين حقيقيين موجبين

و
:  

من أجل كل عددين حقيقيين موجبين

و
و
 لدينا :

 

 

حل في

المعادلة:

 تكون المعادلة

معرفة إذا كان
إذن

 

يعني

. إذن مجموعة تعريف المعادلة
هي

 

من أجل كل

من
: المعادلة
تكافئ :

 

و منه:

أي:

 

بالحساب نجد حلان:

و

 

نلاحظ أن:

إذن
حل مرفوض

إذن
حل مقبول منه

III دراسة الدالة $$"ln"$$
النهايات:

 

جدول التغيرات

وجدنا سابقا:

 

لأن
منه
متزايدة على

التمثيل البياني

ليكن

التمثيل البياني للدالة
في معلم متعامد و متجانس

- المنحنى

يقبل كمستقيم مقارب محور التراتيب.

رسم المنحنى 

العدد

الدالة

مستمرة و متزايدة على المجال

و تأخذ قيمها في
إذن حسب مبرهنة القيم المتوسطة المعادلة :
تقبل حل وحيد في المجال
. نرمز لهذا الحل بالرمز
 

إذن

و لدينا:

IV مشتق الدالة $$ln o U$$

إذا كانت

دالة قابلة للإشتقاق و موجبة تماما على مجال
فإن

الدالة

قابلة للإشتقاق على
و لدينا من أجل كل
من
:

 

معرفة و قابلة للإشتقاق على
و

مشتق الدالة المركبة
:

لتكن

دالة قابلة للإشتقاق و موجبة على مجال

الدالة

هي دالة قابلة للإشتقاق على
و من أجل كل
من
لدينا:

لتكن

الدالة المعرفة على
بـ:

من أجل كل

من
:
قابلة للإشتقاق و موجبة على
إذن
أيضا قابلة للإشتقاق على
و من أجل كل
من
لدينا:

1 دالة اللوغاريتم العشري

نسمي دالة اللوغاريتم العشري الدالة التي نرمز لها بالرمز

و المعرفة على المجال
بـ :

تبقى خواص الدالة

صحيحة بالنسبة للدالة

حيث
و

من أجل كل عدد صحيح

لأن

 الدالة

متزايدة على المجال

التمثيل البياني للدالة
:

من أجل كل

من
:

و بما أن

فإن الدالتين
و
لهما نفس اتجاه التغير و هما متزايدتان تماما على

 

حل في

المعادلة
و المتراجحة

 

  • المعادلة
    معرفة على المجال
    إذن
    منه

 

  • المتراجحة
    معرفة على المجال
    ,
    إذن
    منه
    إذن

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.