iMadrassa

الدوال الأسية

دالة اللوغاريتم النيبيري مستمرة و متزايدة تماما على

 

و لدينا :

و

إذن حسب نظرية القيم المتوسطة ، من أجل كل عدد حقيقي

من
 يوجد عدد حقيقي وحيد
من
 بحيث
بوضع

نكون قد عرّفنا هكذا دالة جديدة

رسم المنحنى

تسمى هذه الدالة"الدالة الأسية" و نرمز لها بالرمز

و لدينا من أجل كل
من
و من أجل كل
من
يعني:

 باستعمال الآلة الحاسبة نجد:

I الدالة الأسية

الدالة الأسية التي نرمز لها بالرمز

هي الدالة المعرفة على
و التي ترفق بكل عدد حقيقي
من
العدد الحقيقي الموجب تماما
حيث:

من أجل كل

من
و من أجل كل
من
:
يعني

الترميز
  • من أجل كل عدد صحيح نسبي
    لدينا:
  • لدينا إذن من أجل كل عدد صحيح
  • اصطلاحا نرمز: من أجل كل عدد حقيقي
    إلى
    بالرمز
  • من أجل كل عدد حقيقي
    :
     
نتائج من التعريف

 

  1. من أجل كل
    من
    :
     
  2. من أجل كل
    من
    و من أجل كل
    من  
    :
     يعني
  3. من أجل كل
    من
    :  
    و من أجل كل
    من  
    :
     
  4. من أجل كل عددين حقيقيين
    و
    :  
    يكافئ

يكافئ

الدالة الأسية متزايدة تماما على

حل المعادلة :

 

لدينا:

منه
إذن

 

حل المتراجحة

يكافئ
إذن
منه

II الخواص الجبرية للدالة الأسية
الخاصية الأساسية

 

من أجل كل عددين حقيقيين

و
:

الإثبات : لدينا من جهة


و من جهة أخرى
و منه  

إذن :  


 

,

من أجل كل عددين حقيقيين

و
و من أجل كل عدد صحيح

 

  1. منه
  2.  
  3.  لدينا من جهة:
    و من جهة أخرى
    منه
III دراسة الدالة الأسية
مجموعة التعريف

الدالة الأسية معرفة على

:

النهايات
  1. (تقبل دون برهان).
  2. نضع
    إذن لما
    فإن
    :

لأن

مشتقة الدالة الأسية

من أجل كل

من
:

 

 نعتبر الدالة

المعرفة على
بـ :

نلاحظ أن

حيث

لدينا من جهة

 إذن  

ومن جهة أخرى : باستعمال مشتقة الدالة اللوغاريتمية مركبة نجد :  

إذن:

منه

اتجاه التغير

 من أجل كل

من
:
أي
منه الدالة
متزايدة على
و جدول تغيراتها هو :

 

التمثيل البياني
1 مشتقة الدالة

إذا كانت

دالة قابلة للإشتقاق على مجال
فإن الدالة
قابلة للإشتقاق على
و لدينا من أجل كل
من
:
 

الدالة
معرفة و قابلة للإشتقاق على
و لدينا: 

الدالة
معرّفة و قابلة للإشتقاق على
و:

  •  

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.