iMadrassa

المتتاليات العددية

1 عموميات على المتتاليات العددية

 عدد طبيعي معطى،  عدد طبيعي حيث

نسمي متتالية عددية كل دالة

 حيث
عدد حقيقي

نرمز إلى العدد

 ب:
و يدعى الحد العام للمتتالية
و نسمي
دليل الحد

نرمز إلى المتتالية

ب:  
 و
هو حدها الأول

المثال الأول

الدالة

 بما أنها معرفة على كل مجموعة الأعداد الطبيعية  
 تعتبر متتالية عددية سنرمز إليها ب الرمز:

حدها العام هو

حيث    

    و حدها الأول هو  

بالتعويض في قانون الحد العام سنجد 

في هذا دليل الحد ليس رتبة الحد

الحد التاسع لهذه المتتالية ليس

  بل هو
 و قيمته توجد بتعويض  ب:8 منه

 

المثال الثاني

الدالة

 بما أنها معرفة على كل مجموعة الأعداد الطبيعية  

 تعتبر متتالية عددية سنرمز إليها ب الرمز:

حدها العام هو

حيث
 و حدها الأول هو

بالتعويض في قانون الحد العام سنجد

 

في هذا المثال الدليل هو رتبة الحد

و منه الحد التاسع لهذه المتتالية هو

  و قيمته توجد بتعويض
ب:9 في قانون الحد العام

 نجد 

المثال الثالث

 لتكن الدالة 

 

لكي تكون الدالة  

معرفة ينبغي أن يكون 
 معناه  
معناه

 تعتبر متتالية عددية سنرمز إليها ب الرمز:

 

حدها العام هو

   حيث  و حدها الأول هو

بالتعويض في قانون الحد العام سنجد

 

الحد التاسع هو 

2 طرق توليد (أو تعريف) متتالية عددية
أ التوليد بالحد العام

يمكن إن نجد قيمة حدود المتتالية باستعمال  حدها العام و لإيجاد الحد

يكفي أن نعوض
 ب
في قانون الحد العام كما رأينا ذالك في الأمثلة السابقة

           :        وفي هذه الحالة يمكن التعبير عن الحد العام    

  بالدالة
    
و نضع

 

ب التوليد بعلاقة تراجعية

دالة حيث من أجل كل عدد
من مجموعة تعريفها
: ينتمي إلى

يمكن تعريف المتتالية بإعطاء حدها الأول

وعلاقة من الشكل

في هذه الحالة نقول أن المتتالية العددية متتالية تراجعية  و نسمي الدالة fالدالة المرفقة بالمتتالية 

المثال

 لتكن المتتالية

التي حدها الأول هو  
و من أجل كل عدد طبيعي
 :

العلاقة التراجعية

تربط بصفة عامة بين الحدين المتتابعين
و

إذا عرفنا قيمة

يمكن أن نعوض و نجد الحد الذي يأتي بعده

بما أننا نعرف قيمة

يمكن أن نجد الحد الذي يتبعه
بالعلاقة
و منه 

بما أن

يمكن أن نجد الحد الذي يتبعه
بالعلاقة
و منه

 

بما أن

يمكن أن نجد الحد الذي يتبعه
بالعلاقة
و منه

 

نواصل بهذه الكيفية وسنجد كل حدود هذه المتتالية

لإيجاد الحد العشرون

 نحتاج إلى الحد الذي قبله
و لإيجاد
نحتاج إلى الحد الذي قبله
إلى أخره

معناه لكي نجد الحد

ينبغي أن نجد  كل الحدود التي هي قبله :        

 

 

هذا العمل شاق و يتطلب وقت و لهذا أحسن طريقة لتوليد متتالية عددية هي التوليد بالحد العام

 

الدالة المرفقة بالمتتالية  

هي
حيث
لأن

التمثيل البياني لمتتالية عددية

● إذا عرفت المتتالية

 بحدها العام كما يلي
 فإن التمثيل البياني للمتتالية
 يتكون من النقط 

 

 

التمثيل البياني للمتتالية

 حيث  هو 

● إذا عرفت المتتالية

بعلاقة تراجعية  كما يلي
 فإن التمثيل البياني للمتتالية يتكون من النقط 

مثال : التمثيل البياني للمتتالية

التي حدها الأول هو

 و من أجل كل عدد طبيعي

     

                هو     
  

       بالحاسبة نجد :  

 

منه :

بينما الدالة المرفقة للمتتالية

هي
 حيث 
 و تمثيلها البياني  
كما تظهره الوثيقة الموالية

 

اتجاه تغير متتالية عددية

عدد طبيعي معطى ،
 متتالية عددية

 

 متزايدة تماما إبتداءا من الرتبة
 إذا و فقط إذا كان
من أجل كل عدد طبيعي
حيث

 

متزايدة تماما إبتداءا من الرتبة
 إذا و فقط إذا كان
من أجل كل عدد طبيعي 
حيث

 

متناقصة  تماما إبتداءا من الرتبة   إذا و فقط إذا كان
من أجل كل عدد طبيعي حيث

 

 متناقصة  تماما إبتداءا من الرتبة  إذا و فقط إذا كان  
من أجل كل عدد طبيعي حيث

 

 ثابتة  إبتداءا من الرتبة
 إذا و فقط إذا كان
من أجل كل عدد طبيعي حيث

 

  ثابتة إبتداءا من الرتبة  إذا و فقط إذا كان  
من أجل كل عدد طبيعي حيث

 

المثال الأول

 متتالية عددية معرفة بحدها العام
حيث

 

منه

منه  من أجل كل عدد طبيعي

:
 منه  
متتالية متناقصة تماما و هذا إبتداءا من الحد الأول

المثال الثاني :

 متتالية عددية معرفة بحدها العام
حيث

 

منه

 

و بما أن

  تكافئ
 منه  
إبتداءا من

منه المتتالية

 متزايدة تماما إبتداءا من
و هو الحد السادس من هذه المتتالية

و

 متناقصة تماما من الحد الأول
 حتى الحد الخامس

و منه المتتالية  ليست رتيبة

 

---------------------------------------------------------------------

3 المتتاليات الحسابية

 :  متتالية عددية حدها الأول
و
عدد حقيقي

(

متتالية حسابية أساسها  
) إذا و فقط إذا

( من أجل كل عدد طبيعي

  حيث :
)

تعريف

1)  المتتالية  

حيث
 متتالية حسابية لأن:

 

 منه

منه  من أجل كل عدد طبيعي

:  منه
     ;  
    متتالية حسابية  حدها الأول

2) المتتالية  

 متتالية حسابية أساسها 3 و حدها الأول 1

أ اتجاه تغير المتتالية الحسابية

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
منه 

● ( المتتالية الحسابية التي أساسها

متزايدة تماما) إذا و فقط إذا ( كان
 )

● ( المتتالية الحسابية التي أساسها

متناقصة  تماما) إذا و فقط إذا ( كان

● ( المتتالية الحسابية التي أساسها

ثابتة ) إذا و فقط إذا ( كان
)

ب الحد العام لمتتالية حسابية

● إذا كانت

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام هو   

 

● إذا كانت

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام هو      

 

● إذا كانت

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام:                  

 

                           

                           

ت مجموع لبعض الحدود المتتابعة لمتتالية حسابية

● إذا كانت

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
فإن  المجموع
حيث  

● إذا كانت

متتالية حسابية حدها الأول
و أساسها
فإن المجموع
حيث

-----------------------------------------------------------

4 المتتاليات الهندسية

 متتالية عددية حدها الأول
    و
  عدد حقيقي

(

 متتالية هندسية   أساسها  
) إذا و فقط إذا

( من أجل كل عدد طبيعي

  حيث :
)

1) المتتالية  

  حيث
 متتالية هندسية لأن:

 

منه  
منه  من أجل كل عدد طبيعي
:

 

 منه  متتالية هندسية   حدها الأول

2) المتتالية

:  متتالية هندسية  أساسها 4 و حدها الأول 1

أ الحد العام لمتتالية هندسية

● إذا كانت

متتالية هندسية  حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام هو

 

● إذا كانت متتالية هندسية 

حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام هو

● إذا كانت متتالية هندسية 

حدها الأول
و أساسها
فإن حدها العام:

ب مجموع لبعض الحدود المتتابعة لمتتالية هندسية

● إذا كانت

 متتالية هندسية  حدها الأول
و أساسها
 فإن

 المجموع

حيث :

- لما  

 

 

-  لما :

 

 

 

● إذا كانت

 

متتالية هندسية  حدها الأول

و أساسها
فإن

المجموع

حيث                    

 

- لما

 

 

-  لما :

 

 

  • إختبارات
  • 20
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • lina seddiki
  • 108 نقطة
  • مسعودة أزرغاف
  • 70 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.