iMadrassa

النهايات و المقارنة -العمليات على النهايات

  1.  اعطاء القواعد العملية : نهاية مجموع دالتين، نهاية جداء دالتين، نهاية حاصل قسمة دالتين
  2.  اعطاء قاعدة لحساب نهاية مركب دالتين.
  3.  تعريف النهاية بالحصر
I النهايات و العمليات
1 نظرية مجموع، جداء، حاصل قسمة بدون حالات عدم التعيين

يمثل عدد حقيقي أو
أو
.

و
دالتان معرفتان على مجال يحوي
أو
يمثل حد من المجال.

إذا كانت نهاية

و
محدودة لما
يؤول إلى
, و إذا لم نتحصل على حالة عدم التعيين
لدينا.

  •  نهاية المجموع
    هي مجموع النهايتين.
  •  نهاية الجداء
    هي جداء النهايتين.
  •  إذا كان
    ، نهاية حاصل القسمة
    هو حاصل قسمة النهايتين .
الجمـــــــــع:
  •    عند
    :
    .
  •   عند
    :
    .
  •   عند
    :
الجـــــداء:
  •  عند
    :
    .
  •  عند
    :
    .
حــــاصل القــسمة: على المجــــال:
  •  عند
    :
    .
  •  عند
    : الدالة ليس لها نهاية، لكن لها نهاية من اليمين، و نهاية من اليسار .

     
   

2 قواعد عملية لثلاث حالات عدم التعيين
أ حالة عدم التعيين من الشكل $$-\infty +\infty$$ لما $$x$$ يؤول إلى $$\infty$$

نهاية دالة كثير حدودة عند 

هي نهاية الحد الأعلى درجة

دالة معرفة على
بــ :
.

نهاية

عند
هي  
:

ب حالة عدم التعيين من الشكل $$\frac{\infty}{\infty}$$ لما $$x$$ يؤول إلى $$\infty$$

عند

: نهاية الدالة الناطقة هي نهاية الحد الأعلى درجة من البسط على الحد الأعلى من درجة المقام.

دالة معرفة على
بـ:
.

نهاية

عند
هي
:

ت حالة عدم التعين من الشكل $$\frac{0}{0}$$

إذا تحصلنا على الشكل

عند حساب نهاية دالة ناطقة  لما
يؤول إلى
: إزالة حالة عدم التعيين تتم باستخراج العامل
كعامل مشترك من البسط و المقام

دالة معرفة على
بـ :

لما

يؤول إلى
نتحصل على

باستخراج  

كعامل مشترك :

لما

يؤول إلى
ليس لها نهاية من اليمين و لها نهاية من اليسار

ث حالة عدم التعيين من الشكل $$\infty\times 0$$

هذه الحالة تؤول إلى حالة

أو

معرفة على
بـ :
.

لما

يؤول إلى
نتحصل على

بكتابة

على الشكل
تصبح النهاية من الشكل

معرفة على
بــ

لما

يؤول إلى
نتحصل على الشكل
.

بكتابة

على الشكل
نتحصل على الشكل
.

.

ج نهاية مركب دالتين

تمثل أعداد حقيقية أو
أو
.

لتكن

دالة معرفة على المجال
و دالة
معرفة على المجال
حيث
 تكون معرفة على
.

إذا كان:

و  
فإن 

على المجال

الدالة
معرفة على بــ:
تحقق
مع
و
.

و
.

إذن:

II النهايات و المقارنة
1 نظرية المقارنة

إذا كانت

و
دالتان حيث من اجل
كبير بالكفاية 

و
فإن

نعرف على

الدالتين
و
بـ :
و
.

لدينا من أجل كل

حقيقي:
و
إذن:
 

إذا كانت

و
دالتان حيث من اجل
كبير كفاية

و

فإن :

يمكن تعميم هاتان النظريتان في حالة لما

يؤول إلى
أو إلى

2 نظرية الحصر

لتكن

دوال عددية
عدد حقيقي إذا كان من أجل
كبير كفاية
و
فإن
.

يمكن تمديد هذه النظرية في حالة

يؤول إلى
أو
يؤول إلى

لتكن

 الدالة المعرفة على
بــ :
.

نعلم أنه من أجل عدد حقيقي

لدينا إذن من أجل كل
من
:
(
موجب تماما ).

و بما أن

فإن :


قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.