iMadrassa

المعادلة التفاضلية

حل المعادلة التفاضلية

هو تعيين كل الدوال
القابلة للإشتقاق على
و التي تحقق:
حيث
و
عددان حقيقيان و

I المعادلة التفاضلية : $$y'=ay$$ مع $$a\neq0$$

حلول المعادلة التفاضلية  

هي الدوال
المعرفة على
بـ  
حيث
عدد ثابت كيفي.

  • من أجل كل عدد حقيقي
    لدينا:
    إذن:  

منه
حل المعادلة التفاضلية  
 

  • وحدانية الدوال
    :

نفرض أنه توجد دوال

حلول المعادلة .
و نبين أن
 من الشكل
 
 لتكن
دالة معرفة بـ
.   لنبرهن أن
دالة ثابتة:
نحسب  
:
بما أن
حل المعادلة  

فإن  
و منه
إذن
ثابتة و هذا يعني أن
منه:  

  • حل في
    المعادلة التفاضلية

إذن  
أي

حلول هذه المعادلة هي الدوال

المعرفة على
بـ:

 حيث

ثابت كيفي من
 

II المعادلة التفاضلية : $$y'=ay+b$$ مع $$a\neq0$$

حلول المعادلة التفاضلية

مع
 
هي الدوال
المعرفة من أجل كل
من
حيث
ثابت من

  • من أجل كل عدد حقيقي
    لدينا :  
    إذن:

 منه
حل المعادلة التفاضلية

  • العكس: نفرض أن
    حل المعادلة التفاضلية
    :

لتكن

دالة معرفة على
بـ:  
     

إثبات أن :

:

و بما أن
حل المعادلة التفاضلية
فإن:  
منه
منه :

 

نستنتج أن الدالة

حل المعادلة التفاضلية
منه عبارة
هي  :  
 

 و بالتالي  

حل في

المعادلة التفاضلية

منه حلول هذه المعادلة هي الدوال
حيث : 

 حيث

ثابت من
 

من أجل كل ثنائية أعداد  

: المعادلة التفاضلية
مع  
تقبل حلا وحيدا
معرفة على
و تحقق الشرط

إذن:   

نعتبر المعادلة التفاضلية

:
:

  1. حل المعادلة
  2. عين الحل
    للمعادلة
    الذي يحقق:

  • يكافئ :
    إذن
    و
     

 منه حلول المعادلة

هي الدوال
المعرفة على
بـ: 

تعيين الحل الخاص

الذي يحقق  

منه
إذن  

و بالتالي
هي الدالة المعرفة على
بـ :
 


قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.