iMadrassa

المعادلة الديكارتية لمستوى في الفضاء

  • معرفة الشعاع الناظم لمستوي
  • كتابة المعادلة الديكارتية لمستوي
I الشعاع الناظم لمستو

نسمي شعاع ناظم لمستوي

شعاع توجيه لمستقيم عمودي على المستوي

إذا كان

و
شعاعان غير مرتبطين خطيا للمستوي
. الشعاع
ناظمي للمستوي
إذا و فقط إذا كان
عمودي على الشعاعان
و

نقطة معلومة ,
شعاع و
نقطة كيفية من الفضاء 
نقطة من المستوي
المار بالنقطة
و الذي شعاعه الناظمي
يكافئ

II المعادلة الديكارتية لمستوي

في معلم متعامد و متجانس كل مستو له معادلة من الشكل

مع
و الشعاع 
ناظمي للمستوي

و بالعكس :

أعداد حقيقية حيث
مجموعة النقط
حيث
هي مستوي له شعاع ناظمي هو :  

 

مستوي معادلته:
و 
شعاع ناظمي له.

 

في معلم متعامد ومتجانس لإيجاد معادلة ديكارتية لمستوي من الشكل    

 المار بالنقط
حيث
و
ليست في استقامة واحدة
 نتبع الطريقة التالية:

  •  نعرف الشعاع
    العمودي على
    و
    فنتحصل على شعاع ناظمي للمستوي
    و على المعاملات
    للمعادلة المطلوبة 

ليكن في معلم متعامد و متجانس النقط:

,
,

  • تبيين أن معادلة المستوي
    هي :

لدينا   $$\overrightarrow{AB}\Biggl(\begin{array}{ccc} -3\\  1\\  2 \end{array}\Biggr)$$ و  $$\overrightarrow{AC}\Biggl(\begin{array}{ccc} -7\\  -2\\ 4 \end{array}\Biggr)$$ ليسا مرتبطان خطيا

إذن النقط $$B,A$$ و $$C$$ تعين مستو:

$$\vec {n}.\overrightarrow{AB}=0 \Leftrightarrow \vec{n}\Biggl(\begin{array}{ccc} a\\  b\\  c \end{array}\Biggr) \perp\overrightarrow{AB}\Biggl(\begin{array}{ccc}  -3\\  1\\ 2  \end{array}\Biggr)$$ منه $$-3a+b+2c=0$$ 

 

$$\vec {n}.\overrightarrow{AC}=0 \Leftrightarrow \vec{n}\Biggl(\begin{array}{ccc}  a\\  b\\ c \end{array}\Biggr) \perp\overrightarrow{AC}\Biggl(\begin{array}{ccc} -7\\ -2\\ 4 \end{array}\Biggr)$$ منه $$-7a-2b+4c=0$$ نحل الجملة $$\begin{cases}-3a+b+2c=0\\-7a-2b+4c=0\end{cases}$$

 

التي تكافئ                                 $$\begin{cases}-6a+2b+4c=0\\-7a-2b+4c=0\end{cases}$$  

 

بالجمع نجد: $$-13a+8c=0$$

بالطرح نجد: $$a+4b=0$$

منه : $$\begin{cases}b=\frac{-a}{4}\\c=\frac{13a}{8}\end{cases}$$

إذا كان $$a=8$$ فإن $$b=-2$$ و $$c=13$$ إذن

$$\vec{n}\Biggl(\begin{array}{ccc}  8\\  -2\\ 13 \end{array}\Biggr)$$ شعاع ناظمي للمستوي $$(ABC)$$ و بالتالي معادلة $$(ABC)$$ هي : $$8x-2y+13z+d=0$$

$$A\epsilon (ABC)$$ إذن احداثيات $$A$$ وتحقق معادلة المستوي $$d=-15 \Leftrightarrow 8.4-2.2+13(-1)+d=0$$

معادلة المستوي $$(ABC)$$ هي :$$8x-2y+13z-15=0$$ 

III بعد نقطة عن مستو

في معلم متعامد و متجانس. نعتبر المستوي$$(P)$$ ذو المعادلة $$ax+by+cz+d=0$$  مع $$c,b,a$$ أعداد حقيقية ليست كلها معدومة 
$$A$$ نقطة من الفضاء إحداثياتها 
$$A(x_A,Y_A,3_A)$$. المسافة أو البعد بين النقطة$$A$$ و المستوي$$(P)$$ هو العدد الحقيقي الموجب:

$$d(A,P)=\frac {|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ 

في المعلم المتعامد و المتجانس :المسافة بين النقطة

و المستوي
ذو المعادلة :
هي:



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.