iMadrassa

الحساب التكاملي

  • تعريف التكامل  
  • التكامل بالتجزئة 
  • خواص التكامل
  • القيمة المتوسطة.
I تعريف التكامل

تسمى وحدة المساحة و التي نرمز لها بالرمز

مساحة المستطيل المحدد بالنقط
في المعلم المتعامد

دالة مستمرة على مجال
;
و
عددن حقيقيان من

يسمي العدد الحقيقي

حيث
دالة أصلية للدالة
على
التكامل من
إلى
لــ
و نرمز له بالرمز
و نقرأ:

"التكامل من

إلى
لــ
تفاضل
"

و لدينا:

دالة مستمرة و موجبة على مجال

,
و
عددان حقيقيان من
حيث 
منحنى في معلم متعامد و
دالة أصلية لـ  
على

مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحنى
و المستقيمات التي معادلاتها
و
و
هو العدد الحقيقي  

إذا كانت  

فإن مساحة

هي
:

يمكن استبدال المتغيرة

بأحد الحروف

مثلا:

II خواص التكامل
  • (واضح دون برهان)
  • من أجل كل عدد
    من المجال  

لاحظ الرسم:

يمكن استعمال التناظر أو الانسحاب لحساب بعض المساحات

و
دالتان مستمرتان على مجال
و
عدد حقيقي.

من اجل كل عددين حقيقيين

و
لدينا:

إثبات

.
دالة أصلية لـ
:

إثبات

بنفس الطريقة 

III القيمة المتوسطة لدالة على مجال

دالة مستمرة على مجال

القيمة المتوسطة للدالة

على المجال
هي العدد الحقيقي:
 

التفسير البياني في حالة دالة موجبة

موجبة على

التمثيل البياني للدالة
في معلم متعامد

يكافئ

نعلم أن

هو مساحة الحيز الواقع تحت المنحنى
و بين
و
.

هي مساحة المستطيل الذي بعداه
و

إذن

هي ارتفاع المستطيل الذي قاعدته
الذي له نفس مساحة الحيز الواقع تحت المنحنى
من
و

IV التكامل بالتجزئة

و
دالتان قابلتان للإشتقاق على
بحيث مشتقاتها
و
مستمرتان على
. من أجل كل عددين حقيقيين
و
من
يكون :

الدالة

قابلة للإشتقاق على
و لدينا:

و منه

بما أن الدوال

و مستمرة على

فإن :

بما أن

هي دالة أصلية لـ
فإن

  • حساب :

لدينا :

بوضع

و
نجد
و

حسب دستور المكاملة بالتجزئة نجد :

وجدنا باستعمال التكامل بالتجزئة أن الدالة

المعرفة على
بـ
هي دالة أصلية للدالة
حيث :


قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.