iMadrassa

تلخيص الهندسة في الفضاء

في كل ما یلي الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس

I كیفیة إثبات الارتباط الخطي أو عدم الارتباط الخطي لشعاعین

إذا كان  

و  
  شعاعین من الفضاء.

 

و 
  مرتبطان خطیا إذا و فقط إذا كان  
    و یكونان  مستقلین خطیا (غیر مرتبطین) إذا كان التناسب السابق غیر محقق  و لو بعدم تساوي نسبتین منه.

II تعامد شعاعین

و 
  متعامدان إذا و فقط إذا كان  
  أي:

III المعادلة الدیكارتیة لمستو

المستوي 

الذي یشمل نقطة
  و 
   شعاع ناظمي له ھو مجموعة النقط
التي تحقق: 
   و معادلته  الدیكارتیة ھي

لتعیین شعاع ناظمي للمستوي 

، یكفي أن نعین شعاعا عمودیا على شعاعین غیر متوازیین من ھذا المستوي.

IV كیفیة إثبات أن ثلاث نقط تعین مستویا

لإثبات أن النقط $$

V كیفیة تعیین شعاع ناظمي لمستو معین بثلاثة نقط

لتعیین شعاع ناظمي

 لمستو
  معین بثلاثة نقط  
نقوم بحل الجملة  
  لتعیین كل من
,
  و

تنبیه:    إذا طلب منك أن تبین أن  النقط 

تعین مستویا 
معرفا بمعادلته ، فیكفي أن تبین أن إحداثیات ھذه النقط تحقق معادلة  المستوي

VI بعد نقطة عن مستو

المسافة بین نقطة  

  و المستوي  
ذا المعادلة 
  تعطى بالعلاقة:

 

VII معادلة سطح كرة

معادلة سطح كرة 

مركزه
و طول نصف قطره
 

كل سطح كرة لھ معادلة من الشكل:

لكن لیست كل معادلة من الشكل السابق ھي معادلة سطح كرة.

VIII الوضع النسبي لمستو و سطح كرة
  • إذا كانت 
    فإن  
    لا یقطع 
  • إذا كانت  
    فإن
      یمس
     في نقطة  
  • إذا كانت  
    فإن
      یقطع
     في دائرة 
IX التمثیل الوسیطي لمستقیم في الفضاء

المستقیم 

  الذي یشمل نقطة 
 و 
 شعاع توجیھ لھ ھو مجموعة النقط
التي تحقق  :  
 وینتج: 
 

X التمثیل الوسیطي لمستو في الفضاء

المستوي 

 الذي یشمل نقطة 
 و  
 و 
 شعاعا توجیھ لھ ھو مجموعة النقط
 التي تحقق: 

  و ینتج:

XI كیفیة الانتقال من التمثیل الوسیطي إلى المعادلة الدیكارتیة لمستو:

یمكن مثلا استخراج

  بدلالة 
 و
 ثم تعویضه في معادلة
 و من ثم استخراج 
  بدلالة 
و
 ثم تعویض كل من 
و
 في معادلة
 و بذلك نكون قد تحصلنا على معادلة المستوي. 

طریقة أخرى: نقوم باستخراج شعاعي توجیه المستوي و نقطة یشملھا المستوي اعتمادا على التمثیل الوسیطي، ثم نبحث عن  شعاع 

 یعامد كلا من شعاعي توجیه المستوي. باستعمال الشعاع 
 و النقطة التي یشملھا المستوي نتحصل على معادلة المستوي. 

XII تقاطع مستقیمین في الفضاء

إذا كان 

 و 
 مستقیمین من الفضاء شعاعا توجیھیھما 
  و 
 على الترتیب فإنه: 

  • إذا كان 
      و 
     مرتبطین خطیا فإن 
     و 
     متوازیان (متوازیان تماما أو منطبقان) 
  • إذا كان 
      و 
     غیر مرتبطین خطیا فإن 
     و 
     غیر متوازیین (متقاطعان أو من مستویین مختلفین) 
XIII تقاطع مستقیم و مستوي

لیكن 

 مستقیما یشمل نقطة
 و شعاع توجیھه  
 و 
 مستو شعاعه الناظمي 
.

  • إذا كان
    فإن 
     یقطع 
     في نقطة وحیدة. 
  • إذا كان
      فإن:
  1. إذا كانت
    فإن 
     محتوى في  
     
  2. إذا كانت
      فإن 
     یوازي  
     
XIV تقاطع مستویین

لیكن 

و
 مستویین معرفین بمعادلتیھما كما یلي:  
;  
 

  1. إذا كان 
    فإن 
    و
     منطبقان 
  2. إذا كان
    فإن 
    و
     متوازیان تماما 
  3. إذا كان 
     غیر محقق فإن 
    و
     یتقاطعان و فق مستقیم یمكن تعیین تمثیلھ الوسیطي بحل الجملة 
     و ذلك مثلا بوضع 
     أو
       أو  

تنبیه: حذار انعدام   

أو 
أو
  أو 

XV تقاطع ثلاث مستویات في الفضاء

لدراسة تقاطع ثلاثة مستویات، نقوم بدراسة تقاطع اثنین منھما، فإذا كانا متوازیین تماما فإن تقاطع المستویات الثلاث خال، و إذا كانا متقاطعین فإن تقاطع المستویات الثلاث یصبح عبارة عن تقاطع مستقیم و مستو.

XVI المرجح في الفضاء

نقول أن النقطة 

  ھي مرجح الجملة المثقلة
إذا و فقط إذا كان 
 

إذا كانت 

مرجح الجملة المثقلة
فإنھ من أجل كل نقطة
من الفضاء، لدینا:

1 إحداثیات المرجح

إذا كانت 

   ;  
  نقطة من الفضاء فإن إحداثیات النقطة
  ھي:

 

2 مجموعات النقط في الفضاء

نقطة من الفضاء و
عدد حقیقي موجب تماما.

مجموعة النقط 

من الفضاء التي تحقق
ھي سطح الكرة الذي مركزه 
 و طول نصف قطره 
 

و
نقطتان من الفضاء. مجموعة النقط
من الفضاء التي تحقق
ھي المستوي المحوري للقطعة المستقیمة

و
نقطتان من الفضاء. مجموعة النقط
من الفضاء التي تحقق
ھي سطح الكرة الذي طول قطره

نقطة من الفضاء و 
  شعاع ثابت غیر معدوم.

مجموعة النقط

من الفضاء التي تحقق
  ھي المستوي الذي یشمل النقطة
و 
شعاع ناظمي له.

3 كیفیة إثبات أن أربع نقط تنتمي إلى نفس المستوي

لإثبات أن أربع نقط 

  ,
,
,
  تنتمي إلى نفس المستوي نبین أن ثلاثة منھا تشكل مستویا و أن الرابعة تنتمي إلیه.

أو نثبت أنه یوجد عددان حقیقیان

  و 
  بحیث  
 


قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.