iMadrassa

Développement limité

I Fonction exponentielle

On chercha à approximer la fonction

par des fonctions successivement du premier, deuxième et troisième degré.
On pose
, fonction dérivable autant de fois que l’on veut sur
.

1 Développement limité d’ordre 1

Au voisinage de 0,

où  
.

2 Développement limité d’ordre 2

Au voisinage de 0,  

où  
.

3 Développement limité d’ordre 3

Au voisinage de 0,  

où  
.

4 Interprétation graphique

Graphiquement, on obtient à différents ordres des approximations de la fonction exponentielle au voisinage de 0.
Plus l’ordre est élevée, meilleure est l’approximation !

II Dévéloppements limités
1 Généralités

Soit

une fonction numérique définie sur un intervalle
de
contenant
.
On dit que
admet un développement limité à l’ordre
au voisinage de
s’il existe un polynôme
de degré inférieur ou égal à
tel que pour tout
:
                                                      
où  

ou sous forme développée
                                                      
.
On dit que
est la partie régulière du développement limité et
est le le reste.

2 Dévéloppements limités usuels

Au voisinage de zéro, on a :

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

La partie régulière du développement limité en

d’une fonction paire (respectivement impaire) est un polynôme constitué de monômes de degré pair (respectivement impair).
Dans le reste du chapitre, on considère les fonctiions
et
admettant à l’ordre n au point
des développements limités de parties régulières
et
.

3 Opérations algébriques
  • admet un développement limité à l’ordre
    dont la partie régulière est
    .
  • admet un développement limité à l’ordre
    dont la partie régulière
    en supprimant tous les termes de degré strictement supérieurs à
    .

Développement limité à l’ordre 3 de

:

  • A l’ordre 3, on a  

donc

  avec   

4 Composition

Si

alors :

  •  
    pour tout
    .
  •  
    pour tout
    .

Développement limité à l’ordre 7 de

:

  • donc :

Développement limité à l’ordre 6 de

:

5 Dérivation et intégration

Si

est dérivable sur un intervalle
contenant
, et admet un développement limité d’orde
en
, alors
admet un développement limité à l’ordre
au voisinage de
de partie régulière
.

Le développement limité à l’ordre 7 de

est :

  • Par dérivation, on trouve 
  • On retrouve bien le développement limité à l’ordre 6 de
    .

Soit

une primitive de
sur un intervalle
contenat
,

Si

avec  

alors

Le développement limité à l’ordre

de \frac{1}{1+x} est :

  • Si on intègre, on obtient :

  • On retouve ainsi le développement limité à l’ordre
    en
    de la fonction
    .

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