Développement limité
On chercha à approximer la fonction
On pose
Au voisinage de 0,
Au voisinage de 0,
Au voisinage de 0,
Graphiquement, on obtient à différents ordres des approximations de la fonction exponentielle au voisinage de 0.
Plus l’ordre est élevée, meilleure est l’approximation !
Soit
On dit que
ou sous forme développée
On dit que
Au voisinage de zéro, on a :
La partie régulière du développement limité en
Dans le reste du chapitre, on considère les fonctiions
- admet un développement limité à l’ordredont la partie régulière est.
- admet un développement limité à l’ordredont la partie régulièreen supprimant tous les termes de degré strictement supérieurs à.
Développement limité à l’ordre 3 de
- A l’ordre 3, on a
donc
Si
- pour tout.
- pour tout.
Développement limité à l’ordre 7 de
- donc :
Développement limité à l’ordre 6 de
Si
Le développement limité à l’ordre 7 de
- Par dérivation, on trouve
- On retrouve bien le développement limité à l’ordre 6 de .
Soit
Si
alors
Le développement limité à l’ordre
- Si on intègre, on obtient :
- On retouve ainsi le développement limité à l’ordre ende la fonction.