Développement limité
I Fonction exponentielle
On chercha à approximer la fonction
par des fonctions successivement du premier, deuxième et troisième degré.
On pose
, fonction dérivable autant de fois que l’on veut sur
.
1 Développement limité d’ordre 1
Au voisinage de 0,
où
.
2 Développement limité d’ordre 2
Au voisinage de 0,
où
.
3 Développement limité d’ordre 3
Au voisinage de 0,
où
.
4 Interprétation graphique
Graphiquement, on obtient à différents ordres des approximations de la fonction exponentielle au voisinage de 0.
Plus l’ordre est élevée, meilleure est l’approximation !
II Dévéloppements limités
1 Généralités
Soit
une fonction numérique définie sur un intervalle
de
contenant
.
On dit que
admet un développement limité à l’ordre
au voisinage de
s’il existe un polynôme
de degré inférieur ou égal à
tel que pour tout
:
où
ou sous forme développée
.
On dit que
est la partie régulière du développement limité et
est le le reste.
2 Dévéloppements limités usuels
Au voisinage de zéro, on a :
La partie régulière du développement limité en
d’une fonction paire (respectivement impaire) est un polynôme constitué de monômes de degré pair (respectivement impair).
Dans le reste du chapitre, on considère les fonctiions
et
admettant à l’ordre n au point
des développements limités de parties régulières
et
.
3 Opérations algébriques
- admet un développement limité à l’ordredont la partie régulière est.
- admet un développement limité à l’ordredont la partie régulièreen supprimant tous les termes de degré strictement supérieurs à.
Développement limité à l’ordre 3 de
:
- A l’ordre 3, on a
donc
avec
4 Composition
Si
alors :
- pour tout.
- pour tout.
Développement limité à l’ordre 7 de
:
- donc :
Développement limité à l’ordre 6 de
:
5 Dérivation et intégration
Si
est dérivable sur un intervalle
contenant
, et admet un développement limité d’orde
en
, alors
admet un développement limité à l’ordre
au voisinage de
de partie régulière
.
Le développement limité à l’ordre 7 de
est :
- Par dérivation, on trouve
- On retrouve bien le développement limité à l’ordre 6 de .
Soit
une primitive de
sur un intervalle
contenat
,
Si
avec
alors
Le développement limité à l’ordre
de \frac{1}{1+x} est :
- Si on intègre, on obtient :
- On retouve ainsi le développement limité à l’ordre ende la fonction.
