iMadrassa
هل أنت متأكد من إجابتك؟ إذا كان الجواب الصحيح إذا كان الجواب خاطئ
غير متأكد 10 نقاط 3 نقاط
لديك شك 15 نقطة 0 نقطة
متأكد من إجابتك 20 نقطة 3- نقاط
دروس تمارين

Intégrales et Primitives

I Notions générales sur les intégrales indéfnies
  • Soit
    une fonction définie sur un intervalle quelconque
    . Une fonction
    définie sur l’intervalle
    est dite primitive de la fonction
    si les deux conditions suivantes sont vérifiées:
  1.  La fonction
    est continue sur l’intervalle
  2.  La fonction
    est dérivable sur l’intérieur de l’intervalle
    et on a
    , en tout point
    intéreur à
    .
  • L’'ensemble de toutes les primitives d’'une fonction
    définie sur un intervalle
    est appelé intégrale indéfinie de
    . On le note 
    .Si une fonction
    est une primitive d’'une foction
    , alors on écrit
    bien qu’'il est plus rigoureux d'’écrire:
II Intégration à l’aide d’un changement de variable

Soient

  et 
deux fonctions définies respectivement sur les intervalles
et
, tel que
,
est continue sur 
et
est dérivable sur l’intérieur de
.Alors si
admet une primitive
sur
, et donc
  la fonction
admet aussi une primitive sur
qui est égale à
et par suite on a :   

Dans la pratique pour calculer une intégrale

en utilisant un changement de variable
,on écrit: 

  • Calculer l’intégrale :  
     

En divisant le numérateur et le dénominateur par 

  on obtient :

 

En faisant le changement de variable

,    
on obtient

 

De nouveau si on pose 

,  
  on aboutit à l’égalité

En remplaçant

par sa valeur en
et puis
par sa valeur en
, on obtient

III Intégration par parties

Si

et
sont des fonctions continues sur un intervalle
, dérivables sur l’intérieur de
et l’intégrale  
existe sur
, alors l’intégrale
existe aussi sur
et on a :  

  • Calculer l’intégrale

Posons 

;

Par suite on obtient

  ;

Dans ce cas on a 

IV Intégrales de fonctions rationnelles

Une intégrale d’'une fonction rationnelle peut toujours, à l’'aide de la décomposition d'’une fonction rationnelle (son intégrant) en éléments simples, se ramener à une combinaison linéaire d’'intégrales de la forme

ou
  avec
,
et
.Donc il suffit de connaitre les valeurs des intégrales de ces types pour en déduire celles des intégrales de fonctions rationnelles.

  • Intégrale du type 
      :   
  • Intégrale du type
    avec
    : 
  • Intégrale du type 
    :  
      avec
V Intégrales de fonctions irrationnelles
1 Intégrales de la forme $$\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx$$

Les intégrales de ce type peuvent être rammenées, à l’'aide de changements de variables, à des intégrales de fonctions rationnelles. Trois cas peuvent se présenter. A chaque cas on associe un changement de variable qui permet d'’obtenir l’'intégrale de fonction rationnelle en question. Les changements de variables qu'’on verra dans la suite sont appelés changements de variables d’'Euler.

Cas où

Le but est de trouver un changement de variable qui permet de supprimer la racine dans l’intégrant sans créer une autre. Pour cela on remplace la variable

par la variable
tel que :   

En élevant au carré les deux parties on obtient :   

Par suite on peut écrire :

est une fonction rationnelle de
, alors
l’'est aussi.On a
,
 et donc en conclusion on obtient  

.Il est évident que
est une fonction rationnelle de
.

Cas où les racines de
sont réelles

Soit

et
solutions du trinôme
. Si
, alors  

Dans le cas ou l’expression sous le signe du radical est strictement négative, c’est à dire quand on a

, l’intégrale n’est pas définie, donc c’est un cas à ne pas étudier. .Par contre si on a
l’intégrant est une fonction rationnelle en
qui peut ne pas être la même sur les intervalles
.Il faut donc étudier séparément chacun des deux cas.

Etudions maintenant le cas ou on a:

. L’expression sous le signe du radical s’écrit
comme suit:

En faisant sortir

du radical on obtient : 
 

Ainsi on obtient l’intégrale d‘une fonction déjà Etudiée dont l’intégrant peut ne pas être le mêmesur les intervalles

.On a vu que pour calculer une telle intégrale il suffit de faire le changement de variable
ce qui est équivalent dans notre cas à poser:  

Donc on peut aussi poser  

Ces deux cas complètent l’Ètude de l’intégrale, car si aucun de ces deux cas n’est vérifié l’expression sous le radical est strictement négative, et l’intégrale ne peut être définie. Un autre cas peut être considéré en parallèle:

Cas où

Dans ce cas on peut poser   

Ce qui donne

,
  ;   

En conclusion on obtient une intégrale d’une fonction rationnelle de la forme 

.

 

 

  • Une intégrale de la forme :
    ,

peut se ramener à une intégrale de la forme: 

,en utilisant le changement de variable "
".

Se qui nous donne:

et donc 


avec

  • les intégrales 
    , peuvent étre transformées en intégrales de fonctions trigonométriques ou hyperboliques à l'aide de changements de variable:

 

Calculer l'intégrale:   

L'intégrant est défini sur  

.:Le polynome sous le signe du radical admet comme racines : 

et
.Alors on peut poser 
se qui nous donne 

En remplaçant x dans l'intégrale par sa valeur en t on obtient:



en revenant à la variable initiale :


 

 

 

 

2 Intégrales de la forme $$\int \frac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}dx$$

est un polynome  de degré

Il suffit d’écrire :

En dérivant l’égalité et en multipliant les deux membres    Par 

on obtient : 

    En identifiant on trouve

et
. L’intégrale se calcule en utilisant  la forme 

Calculer l'intégrale: 

.

On cherche l'intégrale sous la forme: 

.

En dérivant les deux membres de cette égalité on obtient

En réduisant au mème dénominateur on déduit  

En identifiant les coefficients de mème puissance on obtient le système  


dont la solution est:

Il nous reste à calculer l'intégrale

par suite on obtient :

3 Intégrales du binôme différentiel

On appelle binôme différentiel l'expression de la forme:

On va chercher à trouver l'intégrale de f dans le cas où a et b sont des nombres réels, et m, n et p des nombres rationnels. 

En posant :

 on obtient

et

avec

  • Cas où p est un entier relatif:

Soit 

avec
et
des entiers .D'après ce qu'on a déjà vu, il suffit de poser
pour transformer cette intégrale en une intégrale de fonction rationnelle.

  • Cas où q est un entier relatif:

Soit 

avec
et
des entiers .De mème que précedemment, il suffit de poser
pour transformer cette intégrale en une intégrale de fonction rationnelle.

  • Cas où p + q est un entier relatif:

On pose

 avec
et
des entiers. L'intégrale deviendra :
.

De nouveau il suffit de poser

pour transformer cette intégrale en une intégrale de fonction rationnelle. 

Si m, n et p ne vérifient aucun des cas précédents, l'intégrale du binôme différentiel ne peut pas étre calculée à l'aide des fonctions usuelles. 

VI Intégrales de fonctions transcendentes
1 Intégrale de la forme $$\int R(\sin x,\cos x)dx$$

En général pour calculer une intégrale de cette forme il suffit de poser 

pour la mettre sous la forme d'une intégrale d'une fonction rationelle  et on obtiendra :


de mème pour

donc :

et on obtiendra par cela :

1.     Si  la fonction

 est impaire par rapport à la première variable:
on pose
.

2.     Si  la fonction

 est impaire par rapport à la deuxième variable:
on pose
.

3.     Si  la fonction

 est paire par rapport aux deux variables:
on pose
.

 

 

2 Intégrale de la forme $$\int \sin^{p}x\cos^{q}x$$
  1.  Dans le cas où p et q sont des nombres rationnels, l'intégrale pourra se ramener  à une intégrale du binôme différentiel et cela en posant 
    ou
    on obtiendra donc pour le premier cas :
    et donc 
  2. Dans le cas où p et q sont des nombres entiers relatifs on utilise un des chagements de variables suivant :
  • si p est impair on pose
    .
  • si q est impair on pose
    .
  •  si p et q sont impairs on pose
    .
  • si p et q sont pairs on pose  
    .

 

Calculer l'intégrale 

L'intÈgrant est une fonction paire car

et
sont des fonctions paires on peut donc remplacer une des deux fonction par sa valeur en fonction de l'autre: 


on peut donc écrir :

Après intégration on trouve

 

3 Intégrale de la forme $$\int\sin\alpha x\cos\beta xdx$$

Cet intégrale  étant le produit de deux fonctions trigonomètriques elle put doncétre transformé en une somme de fonctions trigonométriques en utilisant une des formules suivantes:

4 Intégrale de la forme $$\int f(\sinh x,\cosh x)dx$$

Tous les types d'intégrales, qu'on a vu concernant les fonctions trigonométriques, peuvent étre concidérées pour les fonctions hyperboliques. Il suffit de faire les changements de variables correspondants en utilisants les formules hyperboliques correspondantes aux formules trigonométriques. On remplacera donc 

par

et
par
.

l'intégrale d'une fonction 

peut se ramener à l'une des 3 formes suivantes :

Qui peuvent aussi étre transformées enn intégrales de fonctions trigonométriques ou hperboliques en posant respectivement   :

  1. ou
  2. ou
  3.  ou
5 Intégrale de la forme $$\int \exp^{ax} P(x)dx$$

Il suffit de poser 

avec

: polynome du mème degré que

Pour trouver les coefficient du polynome

il suffit de dériver les deux membres de l'égalité et d'identifier les coefficients de mème puissance en x. 

Calculer l'intégrale 

On applique la formule précédente:


 

Certaines intégrales tel que : 

; 
;
;
;
;
;
;
;

doivent étre intègrées plusieurs fois par partie pour obtenir un résultat .

 

VII Intégrales qui ne peuvent pas s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles

Il existe des fonctions dont les primitives ne peuvent pas s’exprimer à l’aide des fonctions usuelles tel que :

certaines fonctions du binôme différentielle (dépendant des paramètres m, n et p) ;

;
;


قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.