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دروس تمارين

Equations différentielles du premier et second ordre

I Equations différentielles

Une équation différentielle d’ordre

est une équation de la forme :   

Une solution de l’équation différentielle est une fonction  

 qui est
fois dérivable et vérifie

 

1 Equations différentielles linéaires du premier ordre

Il s’agit des équations du type  

 où
et
sont des fonctions définies sur un intervalle ouvert
de
.

A Cas ou a est une constante et $$b=0$$

Soit

un réel. Soit l’équation différentielle :

Les solutions de

, sur
, sont les fonctions
définies par :  
  où
est une constante quelconque.

Pour trouver cette solution, on écrit l’équation différentielle sous la forme

En intégrant,

  • Résoudre l’équation différentielle

On écrit cette équation sous la forme ;

, ses solutions sur
sont de la forme   
ou 
.

B Cas ou a est une fonction et $$b=0$$

Soit  

 une fonction continue et  
 une primitive de
.

Soit l’équation différentielle  

Ses solutions sont les fonctions définies par :  

 

  • Résoudre L’équation différentielle

On se place sur l’intervalle   

On peut alors écrire

  ici,
 l’une de ses primitives est

Les solutions de l’équation différentielle sont donc  

 ou 
. 

C Cas ou $$a$$ et $$b$$ sont des fonctions : équation avec second membre

Soit  

et  
  deux fonctions continues

On résout d’abord l’équation homogène associée, c'est-à-dire le second membre

, soit  
, puis on ajoute une solution particulière  
de
.

La solution générale de l’équation différentielle est donc une combinaison des deux  

  • Recherche d’une solution particulière : méthode de variation de la constante :

On utilise la solution de l’équation homogène  

 ou
est une constante. . La méthode de la variation de la constante consiste à chercher une solution particulière sous la forme  
ou
est maintenant une fonction à déterminer pour que
soit une solution de 
  .Puisque
, on a :

 

 

Donc

est une solution de
si et seulement si :

 

La solution particulière est

2 Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

C’est une équation différentielle de la forme    

Ou
,
et
est une fonction continue sur un intervalle ouvert

A Equation homogène

On forme l’équation du second degré appelée équation caractéristique

3 cas se présentent :

  •  
     L’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes  
    et  

La solution générale de

est    
  avec 

  •  L’équation caractéristique admet une racine réelle double 

La solution générale de

est
  avec 

  • L’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées 
    et  
      ; 
      ;
     

Avec 

est la partie réelle de
(ou
) et
la valeur absolue de la partie imaginaire La solution générale de
est  :  
 avec 
 

B Equation avec second membre
  • avec
    polynôme de degré

    ;    

et
    ;    

    ;    
  Avec
polynôme de degré

  • avec
    polynôme de degré
    et

non racine de l’équation caractéristique 

racine simple 

racine double 

  •  
     avec
    ,
    polynôme de degré
    et
    polynôme de degré
    .

  non racine de l’équation caractéristique :  

 racines de l’équation caractéristique :
avec 
et
polynômes de degré

  •  

non racine de l’équation caractéristique :  

 racine de l’équation caractéristique :

La solution de l’équation complète est la somme de la solution générale de l’équation homogène et d’une solution particulière de l’équation complète

C Méthode de la variation des constantes

Lorsque le second membre n’a pas l’une des formes indiquées précédemment, on utilise la méthode de variation des constantes.

Soient

et
deux solutions linéaires de l’équation homogène 
d’où  

On impose

Il reste 

  et  

On reporte dans l’équation

en tenant compte du fait que
et
sont des solutions del’équation homogène
, après simplification : 

Puis on résout le système qui détermine

et

 

 Puis on intègre pour avoir
et


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